最大似然估计_最大似然估计（下）——离散选择模型之十三

前言

上一篇《最大似然估计(上)——离散选择模型之十二》中讲了最大似然估计(MLE)的基本思想，本文说一说如何利用最大似然估计来确定二项Logit模型的参数 。

在二项Logit模型中，决策主体  只有  、  两个方案可以选择。 选择方案  的概率可以表示为：

为方便理解，假设我们只观测到了2个样本：第一个决策者 (记为)选择了方案  ，第二个决策者 (记为)选择了方案  。

如果对应到日常生活中的场景，大家可以想象成“在某次顾客购买行为调查中，顾客1选择百事可乐、顾客2选择可口可乐”，或者“在某次居民出行行为调查中，乘客1选择打车、乘客2选择坐地铁”之类。

前文中已经说了：最大似然估计(MLE)的核心思想就是——对于随机变量  ，如果我们观测到事件  、  、…、  发生，那么  的概率分布就应该使得这些事件发生的概率最大。

上面的例子中，我们观测到了决策者  选择了方案  、 选择了方案  ；那么(1)式中的参数就应该使得  最大；即本例中的似然函数为：

在构建 Logit 模型的似然函数时，需要用一个小技巧对(2)式处理一下。我们引入哑变量 δ  和 δ —— 如果  选择  ，则 δ ，否则 δ ；类似地，如果  选择  ，则 δ ，否则 δ 。在二项Logit模型中， 不是选择  就是选择  ，所以 δδ 。利用哑变量 δ 和 δ，(2)式中的似然函数可以等价地表示成：

如果一共观测了  个样本，只需把(4)式中的 2 换成  即可。

对(4)式取对数、得到对数似然函数：

在(6)式中，当我们拿到样本数据以后， δ 、 δ 、  、  都是已知的；仅系数向量   未知。通过对  求偏导、令偏导数等于0，就可以得到一组关于  的方程组；求解方程组我们就可以得到参数  的值。

【END】

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