1. 反正弦函数
(1)反正弦函数的定义
先来探讨正弦函数
y=sinx, xÎ(-¥, +¥) (1)
的反函数问题．你已经在§6.1中学习了y=f(x) 存在反函数的条件，是x, y之间必须一一对应，反映在图象上，那就是任一平行于x轴的直线与函数图象的交点不能多于一个．正弦函数在其定义域(-¥, +¥)中显然不满足这些条件．如
sin = ，sin(2kp+ )=sin((2k-1)p- )= , k ÎZ，
因此对应关系不是一一对应的；从图象上看就更明显了，如图6-19所示，直线y= 与正弦曲线有无限多个交点．因此正弦函数(1)的反函数是不存在的！
但是若把x限制在
sinx的局部区间内，例
如在[- , ]内，考虑
函数 y=sinx, xÎ[- , ] (2)
因为它在定义域上单调增加，反函数是存在的(图6-19)．把值域是[-1, 1]的函数(2)(注意它不是正弦函数)的反函数称为反正弦函数．
我们已经知道，“sin”本来就是一个函数记号，你一看见函数sinx，尽管没有具体的x的数学式，但立即能知道函数值是表示什么；函数(2)的反函数的含义也十分明确：与[-1,1]中的任一y对应的是[- , ]内唯一使sinx=y成立的那个x．但x无法表示为一个y的数学式．因此我们用一个特殊的函数记号 “arcsin” 来标记．即函数(2)的直接反函数是
x=arcsiny, yÎ[-1, 1]，
而常规反函数则是
y=arcsinx, xÎ[-1,1] (6-4-1)
按照通用函数记号表示，y=f(x)的常用反函数用y=f –1(x)表示，因此，在很多场合，我们又把函数(2)的反函数，即反正弦函数表示为
y=sin–1x, xÎ[-1,1] (6-4-2)
(注意不要把sin–1x与正弦函数值sinx的-1次幂混淆，后者表示为 (sinx)–1．)
反正弦函数(6-4-1)的值域是[- , ]，只要把函数(2)的图象，关于直线y=x作对称，就是反正弦函数(6-4-1)的图象(见图6-20)．
注意，根据弧长公式s= r×x (r为半径，x为弧所对中心角的弧度)，在单位圆上(见图6-21)，x既是角度，又反映对应弧AP的长度，而sinx是正弦线MP．AP的长度>MP的长度，即
ôsinxô
表现在图象上，在x>0部分(即y轴的右侧)，y=sinx的图象总是在直线y=x之下；在x<0部分(即y轴的左侧)，y=sinx的图象则总是在直线y=x之上．而反函数y=arcsinx的图象与直线y=x的相对关系则相反．你在作图时务必注意这一特点．
(2)求反正弦函数函数值
既然 “arcsin”仅是一个函数记号，y=arcsinx没有表示为一个x的具体数学式，那么怎么求它的函数值呢？其实这个问题就是在第四章的 “已知三角函数函数值求角”问题，因此对[-1,1]中的任一x，你可以用计算器求得在[- , ]的y．我们先复习一下．
例1 求下列反三角函数的函数值(保留4个有效数字)：
(1)arcsin(-0.866)； (2)arcsin ； (3)arcsin ； (4)arcsin ．
解 用MODE键，把角度调成RAD (弧度制)状态，然后用计算器求角．
(1)按键顺序 0.866 +/- 2ndF sin –1 显示-1.047 146 746，所以
arcsin(-0.866)»-1.047 ▍
(2)按键顺序 3 Ö ¸ 2 = 2ndF sin-1 ，显示1.047 197 551，所以
arcsin =1.047 ▍
(事实上，因为sin = , 所以 arcsin = ，这两种结果是一致的．)
(3)因为 >1，所以 不在arcsinx的定义域[-1,1]内，本题题目错误(你可以强行在计算器上操作一下，看看得到什么结果？) ▍
(4)按键顺序 3 ¸ 5 = Ö 2ndF sin –1 ，显示0.886 077 123，所以
arcsin »0.8861 ▍
课内练习1
1. 求下列反正弦函数的函数值(保留4个有效数字)：
(1)arcsin0.766； (2)arcsin ； (3)arcsin ； (4)arcsin ．
(3)已知正弦函数值，求指定范围内的角
你可以用计算器算一下，sin =0.5．现在提一个相反的问题：求x使 sinx=0.5．你至少立即会用两种不同办法得到x．能记住一批特殊角三角函数值的，可以不假思索地回答x= ；记不住的，也会用计算器得到相同的结果．但是你的答案并不是我所希望的，我现在要你得到的答案就是x= ，而不是其它任何值．对这种解答要求，你的计算器就无用武之地了，因为计算器总是求反正弦函数的函数值，因此所得到的x总是在反正弦函数的值域[- , ]里面．