文章目录

• ​​PT_连续型随机变量/分布函数/概率密度​​

• ​​分布函数​​

• ​​分布函数的性质​​

• ​​基本性质​​
• ​​高级性质​​

• ​​右连续性:​​
• ​​概率区间:​​

• ​​从分布律求对应的分布函数​​

• ​​连续型随机变量​​

• ​​概率密度函数​​

• ​​性质​​
• ​​其他性质​​
• ​​例​​

• ​​密度函数&分布函数&概率间的联系​​

• ​​例​​

PT_连续型随机变量/分布函数/概率密度

• 进一步分为:

• 连续型随机变量(基础阶段讨论)

• 例如,电视机的使用寿命

• 奇异型随机变量

分布函数

• 和离散型随机变量不同,连续型随机变量可以充满某个区间
• 分布律的形式无法描述这类随机变量的取值的统计规律性
• 为了统一研究各种类型的随机变量,引入分布函数的概念

• Distribution function 分布函数

• 值域:

• 参数(变量)类型就是概率函数P的参数类型

• 🎈

• 可以称,F为随机变量X的分布函数

分布函数的性质

基本性质

• 任何随机变量X都有分布函数
• 函数F(x)成为某个随机变量X的分布函数的条件:
• 值域:

• 极限:

• 单调性:

• 是单调非减的函数:

高级性质

• 指证明需要高级知识的性质,包括以下几条:

右连续性:

• 🎈即,如果处的某个邻域 有定义,存在右极限
• 比如:

• 例如:

• 上面这个分布函数的分段定义涵盖了实数区间R
• 利用右连续性求解A,B

• A+B=1

• 即:A=1,B=0

概率区间:

• 对于
• 有分布函数可以确定随机变量在某一个区间内的取值概率

• X取值落在某一个区间的概率,用这个性质求解是方便的
• 🎈注意左开右闭区间才可以直接套用

• 例:

• 对于分布函数

从分布律求对应的分布函数

• 一般的,对于随机变量X的为:

• 显然,离散型随机变量的函数不是连续函数

• 它们一般为阶梯函数

连续型随机变量

概率密度函数

• 设随机变量X的分布函数是F(x)
• 如果存在一个**非负可积函数**有

• ,检查密度函数(密度)

性质

• 非负性

• 规范性:

• 设其中X为连续型随机变量时,有:

• 推导:
• 再回头看规范性:

• 可见,连续型随机变量取一个具体值的概率是0

• 但是,对于连续型随机变量取值的每一次观察将导致一个概率为0事件发生
• 这表明:

• 概率为0的事件不一定是不可能事件
• 同样,概率为1的事件也不一定是必然事件
• 但是有时候是确定可能或不可能

• ,则事件P(X=a)是有可能发生的
• 从几何角度理解,概率密度>0的区间上是随机变量可能的取值范围

• 而概率密度区间为=0的区间是随机变量不可能取值的区间

• 基于此有:

• 类似的:

其他性质

• 根据概率密度的定义,g(x)也是X的概率密度函数
• 因此,改变有限个点处的密度函数值不会影响分布函数

• 即不同的密度函数可能得到相同的分布函数!
• 🎈一个随机变量的分布函数是确定的,但是它的概率密度却不是唯一的

例

密度函数&分布函数&概率间的联系

• 注意,密度函数的一条性质中有一个定积分(规范性:从),区别于变上限积分

• 求解随机变量落在给定区间内的概率

• 也可以直接通过密度函数,通过定积分来计算

例

• 根据规范性: