【线性代数】线性组合，线性相关与生成子空间(linear combination, linear dependency & span)

首先，几个前提

• 向量在代数上表示一组数的组合
• 向量在空间中可以表示一个点
• 向量在空间中可以表示一个向量

走起！

对于代数方程 Ax=b A x = b 而言，我们可以从空间的角度这样来理解:

将矩阵 A A 的列向量看做是从 原点出发的不同方向向量，向量 b b 代表空间中的一个固定目标点，而我们要求解的向量 x x 则是一组数，其每一个分量 xi x i 代表我们沿着 Ai A i 方向走多远， 即

Ax=∑ixiA:,i A x = ∑ i x i A : , i

, 这种 一组向量乘上一组系数的操作，就叫做 线性组合(linear combination),即 每个向量乘以对应系数之后的和，记做 ∑iciv(i) ∑ i c i v ( i )

. 一组向量线性组合后等到达的点的集合，构成了这组向量的 生成子空间(span)

回到 Ax=b A x = b ， A A 的列向量的生成子空间，叫做 A 的列空间(column space) 或者 A 的值域(range), 而确定方程是否有解，就是确定 点 b b 是否在这个列空间里。显然，要想使 Ax=b A x = b 对于任意 b∈Rn b ∈ R n 有解， A A 的值域必须充满 Rn R n 空间，也就是说 A A 的列向量必须构成 Rn R n 空间的一组基底，即 A A 中的列向量必须是线性无关的。

如果，一组向量中，任意一个向量都不能表示成其他向量的线性组合，那么这组向量就是线性无关(linearly independent)的。相应的，任何一个向量可以表示为其他向量的线性组合，那么这组向量就是有冗余的，就是线性相关(linearly dependent)的。

对于方阵(square)而言,

列向量线性相关的方阵被称为奇异(singular)的。