tokitsukaze and Inverse Number（树状数组求逆序对及逆序对性质）

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tokitsukaze and Inverse Number

题意：

tokitsukaze给你一个长度为n的序列，这个序列是1到n的一种排列。

然后她会进行q次操作。每次操作会给你L R k这三个数，表示区间[L,R]往右移动k次。

移动一次的定义是：一个数的位置是P(L≤P≤R-1)，它往右移动后就会在P+1这个位置上；如果一个数在R这个位置，它会移动到L这个位置。

在每次操作结束后，tokitsukaze想让你算出现在这个序列的逆序数的多少，简单起见，你只需要告诉她现在这个序列的逆序数是奇数还是偶数就行了。

提示：序列的逆序数指的是：a[i]>a[j](i<j)，满足条件的(i,j)的个数。

思路：

原序列的逆序对数可通过树状数组求解：

这里树状数组维护的是前缀和，树状数组c[i]表示大小为 i 的数的个数，那么前缀和就是大小小于等于 i 的数的个数。依次遍历数组，设当前位置为 i ，先用树状数组计算小于该数的数的个数num，那当前逆序对数为：原逆序对数+ i - num ，然后把这个数插入到树状数组，add(a[i],1)，表示c[a[i]]+=1 。遍历完数组即可得总逆序对数。

逆序对结论：

1到n的排列。任意交换两个数，逆序数奇偶性发生改变。

证明：

设排列为a1 a2 .. al a b b1 b2 .. bm  对换a，b ->  a1 a2 .. al b a b1 b2 .. bm

除a，b外，其他元素的逆序数不变。

当a<b时，对换后a的逆序数+1不变，b的逆序数不变。

当a>b时，对换后a的逆序数不变，b的逆序数-1。

因此，对换相邻两个元素，排列逆序数改变奇数个。

设排列为a1 a2 .. al a b1 b2 .. bm b c1 c2 .. cn，现在来对换a，b：

a1 a2 .. al a b b1 b2 .. bm c1 c2 .. cn  -> b经过了 m 次相邻对换 。

a1 a2 .. al b b1 b2 .. bm a c1 c2 .. cn -> a经过了 m+1 次相邻对换。

总共经过了 2*m+1 次相邻对换。

因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列逆序数改变奇数个。

因此，本题 ans = （操作前逆序数 + 需要交换多少次才能变成操作后的序列（不需要求最小操作数））%2 。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int MAX = 1e5+10;
const ll mod = 1e9+7;

int n;
int a[MAX];
int c[MAX];

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

void add(int k,int x){
    while(k<=n){
        c[k]+=x;
        k+=lowbit(k);
    }
}

int sum(int x){
    int val=0;
    while(x){
        val+=c[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return val;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    ll num=0; // 逆序数个数
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        num+=(i-1)-sum(a[i]);
        add(a[i],1);
    }
    int q;
    scanf("%d",&q);
    while(q--){
        ll l,r,k;
        scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&k);
        num+=(r-l)*k;
        num%=2;
        if(num%2==0){
            printf("0\n");
        }
        else{
            printf("1\n");
        }
    }
    return 0;
}