Background
Covariance shift
——when the input distribution to a learning system changes, it is said to experience covariance shift.
当这种现象发生在多层神经网络之间时，即前面层参数的改变，使得后面层的输入分布发生改变时，就叫Internal covariance shift。
前面层的参数变化会影响当前层的输入分布，缺点有二：
1.大大减慢当前层的参数学习速度（当前层也是一个learning system，一旦其输入的分布改变，就要调整参数来适应这种分布）；
2.若使用sigmoid激活函数，当前层的输入可能会处于sigmoid函数的非线性饱和区域，进而导致梯度消失现象。在BN出现以前，通常采用ReLU（x）=max（0，x）激活函数或使用较小的learning rate来解决这个问题。
因此我们想到，如果前面层的输出activation（即当前层的输入input）的分布是一定的呢？那样就会减少下一层输入陷入sigmoid饱和非线性区域的可能，梯度不再容易消失，从而加快训练速度。
Whitening
对某一层的输出activations进行白化操作（零均值、单位方差、去相关），可以使得这些activations的分布保持恒定，从而减小internal covariance shift对下一层的影响。
其缺点在于：
1.expensive computation
2.not everywhere differentiable
为了解决这个问题，作者在Batch_normalization中提出了两个简化做法。
Normalization via Mini-batch statistics
BN包括两个重要的操作：
1.normalization：零均值化、单位方差
2.scale and shift：引入两个参数，从而使得BN操作可以代表一个恒等变换（相当于BN transform的输入和输出是一样的，也就是不改变输入分布）
表示如下：
对某一layer，其输入x的维度（即前一层的activations个数）为d，则需要对每一维（即每一个activation）分别进行normalization:
然而，仅仅对每个输入进行normalization会改变输入的分布，例如，若使用的是sigmoid激活函数，则对输入的normalization会将其限制在sigmoid函数的线性区域，为了解决这个问题，我们在normalization操作后面加上一个如下所示的线性变换（linear transform），使得整个Batch normalization具有表达恒等变换的能力。
对每一个前一层的输出activation，都要学习自己的gama、beta。
当每个activation的gama和beta都按如下当时取值时，输入的activations经过BN操作后分布不变，此时，BN就相当于一个恒等变换了。
整个BN算法框架如下：
反向传播
推导过程如下：
Testing
Batch-Normalized Convolutional Networks
正如卷积神经网络里，同一个feature map里面的多个units是由同一个kernel在input image的不同区域滑动得到的，当在卷积神经网络里加入BN操作时，同一个feature map的activations也用同样的normalization方式，也就是说，对一个具有n个feature maps的activation layer，只需要学习n个gama-beta参数对。
加入BN后
加入BN操作的神经网络，可以设置更大的learning rate、去掉dropout层、减少L2正则化。
实验
某一层的输出activations的分布随着训练时间的增长而变化的曲线：
可以看出，加入BN后，分布更加稳定，减弱了internal covariance shift。