acm专题学习之数学（一）分解质因数+URAL - 2102

题目：数字N(1e18)，其分解后（N=a1^p1*a2^p2...），问幂的和（p1+p2+p3...）是否为20。

思路：

• 暴力+优化：通过观察1e6*1e6*2^18>2e18，会发现最多只有一个大于1e6的因子，那么可以只求1e6范围内的质因子，然后如果过了1e6后和的数量还为19，那么只需要判断除后剩下的是不是质数。
• 分解质因子+优化：套用分解质因子模板，在后面不可能再有20的范围进行判断做个剪枝。

分解质因数：

原理：唯一分解定理，任何一个大于1的自然数n都可以唯一分解成有限个质数的乘积，n=p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^a3，其中p1<p2<...<pn均为质数，它们的指数均为正整数。所以这道题分解出来的质数是可以确定的。

求质因子模板代码：

//cnt记录素数的个数，a数组从小到大记录素数
int cnt = 0;
for(int i = 2; i*i <= n; i ++)
{
    while(n % i == 0)
    {
        a[cnt ++] = i;
        n /= i;
    }
}
           

代码：

#include <algorithm>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{
    long long int n;
    scanf("%lld",&n);
    int cnt = 0;
    int flag=0;
    for(long long int i = 2; i*i <= n; i ++)
    {
        while(n % i == 0)
        {
            cnt++;
            n /= i;
        }
        if(cnt>20){
            break;
        }
        if(pow(i+1,20-cnt)>n){
            flag=1;
            break;
        }
    }
    if(n!=1)cnt++;
    if(cnt==20&&!flag){
        printf("Yes\n");
    }
    else {
        printf("No\n");
    }
    return 0;
}
           

注意的地方：只用分解质因子会超时，还要剪一下枝优化一下。

总结：太惨了，不会分解质因子，还看错题意，和别人差了两道题。所以平时说要多学习，技多不压身。