欧拉恒等式被称为数学中最美丽的公式之一,它把数学中几个看似没有联系的数:圆周率π、自然常数e、虚数单位i、0和1结合到了一个式子中。
第一次看到这个式子时虽然一脸懵逼,但还是被它的完美震撼到了。其实要推出欧拉公式,首先要知道泰勒展开定理,即一个函数f(x)如果是一个初等函数,且在x=0处邻域(-r,r)内存在任意阶导数,那么f(x)在x=0处可以展开成幂级数,展开式为:
通过泰勒展开,得到
当e的指数x替换成ix,即实数变量变成了纯虚数变量时,可写出:
所以结合虚数单位和上面的正余弦函数展开式就得到了一般形式的欧拉公式:
当x=π时,因为cosπ=-1,sinπ=0,所以就得到了上述的欧拉恒等式。这个公式在数学和物理中用处极大,它将三角函数形式的正弦波统一成了简单的指数形式,它描绘的是在复平面上做圆周运动的点随着时间的改变,这个点在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实部,也就是螺旋线在左侧的投影,就是一个最基础的余弦函数,而右侧投影则是一个带虚部的正弦函数。现代物理学告诉我们,宏观宇宙的构成本质是旋转的,带有圆周运动和自旋性;微观世界也是旋转的,也带有圆周运动和自旋性,而欧拉公式描述的核心正是旋转与频率。
最后有个问题 : 当 x = π /2 时 , 你发现了另一个特别的恒等式吗 ?