字符串编辑距离（Levenshtein距离）算法

转载：https://www.cnblogs.com/BlackStorm/p/5400809.html

基本介绍

　　Levenshtein距离是一种计算两个字符串间的差异程度的字符串度量（string metric）。我们可以认为Levenshtein距离就是从一个字符串修改到另一个字符串时，其中编辑单个字符（比如修改、插入、删除）所需要的最少次数。俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein于1965年提出了这一概念。

简单例子

　　从字符串“kitten”修改为字符串“sitting”只需3次单字符编辑操作，如下：

• • sitten ( k -> s )
  • sittin ( e -> i )
  • sitting ( _ -> g )

　　因此“kitten”和“sitting”的Levenshtein距离为3。

实现思想

　　如何编程实现这一算法呢？许多人试图用矩阵来解释，但实际上矩阵是最终可视化的工具，配合理解“为什么”比较方便，但从矩阵却比较难想到“怎么做”。

　　我们试图找到“从字符串A

A修改到字符串BB”这一问题的子解结构。当然反过来说“从字符串BB修改到字符串AA”和它是同一个问题，因为从AA中删掉一个字符来匹配BB，就相当于在BB中插入一个字符来匹配A

A，这两个操作是可以互相转化的。

　　假设字符序列A[1…i]

A[1…i]、B[1…j]B[1…j]分别是字符串AA、BB的前ii、jj个字符构成的子串，我们得到一个子问题是“从字符串A[1…i]A[1…i]修改到字符串B[1…j]B[1…j]”：⎡⎣⎢A:B:A[1]B[1]A[2]B[2]⋯⋯A[i−2]B[j−2]A[i−1]B[j−1]A[i]B[j]⎤⎦⎥

​⎣​⎡​​​​​​​​​A:​B:​​​​​​​A[1]​B[1]​​​​​​​A[2]​B[2]​​​​​​​⋯​⋯​​​​​​​A[i−2]​B[j−2]​​​​​​​A[i−1]​B[j−1]​​​​​​​A[i]​B[j]​​​​​⎦​⎤​​

　　① 插入操作：

• • 当将A[1…i]

A[1…i]修改成B[1…j−1]B[1…j−1]需要操作数为op1op​1​​，那么我插入一个字符A[i']=B[i]A[i​′​​]=B[i]到A[i]A[i]和A[i+1]A[i+1]之间，用以匹配B[i]B[i]，于是A[1…i]A[1…i]修改到B[1…j]B[1…j]所需操作数为op1+1op​1​​+1。⎡⎣⎢⋯⋯A[i−2]B[j−2]A[i−1]B[j−1]A[i]B[j]A[i′]ϕ⎤⎦⎥

• • ​⎣​⎡​​​​​​​​​​​​​⋯​⋯​​​​​​​A[i−2]​B[j−2]​​​​​​​A[i−1]​B[j−1]​​​​​​​A[i]​B[j]​​​​​​​A[i​′​​]​ϕ​​​​​​​​​​​​​⎦​⎤​​

　　② 删除操作：

• • 当将A[1…i−1]

A[1…i−1]修改成B[1…j]B[1…j]需要操作数为op2op​2​​，那么我删掉字符A[i]A[i]也可以op2+1op​2​​+1的操作数使两个子字符串匹配：⎡⎣⎢⋯⋯A[i−2]B[j−2]A[i−1]B[j−1]ϕB[j]⎤⎦⎥

• • ​⎣​⎡​​​​​​​​​​​​​⋯​⋯​​​​​​​A[i−2]​B[j−2]​​​​​​​A[i−1]​B[j−1]​​​​​​​ϕ​B[j]​​​​​​​​​​​​​⎦​⎤​​

　　③ 修改操作：

• • 如果A[1…i−1]

A[1…i−1]修改成B[1…j−1]B[1…j−1]所需操作数为op3op​3​​的话，我将字符A[i]A[i]替换成A[i']=B[j]A[i​′​​]=B[j]，就可以op3+1op​3​​+1的操作数完成：⎡⎣⎢⋯⋯A[i−2]B[j−2]A[i−1]B[j−1]A[i′]B[j]⎤⎦⎥

• ​⎣​⎡​​​​​​​​​​​​​⋯​⋯​​​​​​​A[i−2]​B[j−2]​​​​​​​A[i−1]​B[j−1]​​​​​​​A[i​′​​]​B[j]​​​​​​​​​​​​​⎦​⎤​​
• 但如果此时字符A[i]==B[j]
• A[i]==B[j]的话，则不需要进行修改操作，操作数仍为op3
  • • op​3​​。

  　　综上所述，我们将字符串A[1…i]

  A[1…i]修改成字符串B[1…j]B[1…j]所需操作为min{op1+1, op2+1, op3+1(ai≠bi)}min{op​1​​+1, op​2​​+1, op​3​​+1​(a​i​​≠b​i​​)​​}，其中1(ai≠bi)1​(a​i​​≠b​i​​)​​代表当ai≠bia​i​​≠b​i​​时取值11，否则取值为0

  0。

  数学定义

  　　数学上，我们定义两个字符串A

  A和BB间的Levenshtein距离为levA, B(a, b)lev​A, B​​(a, b)，其中aa、bb分别为字符串AA、BB的长度，而levA, B⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜i, j⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ijmin⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪leva, b(i, j−1)+1leva, b(i−1, j)+1leva, b(i−1, j−1)+1(ai≠bi), j=0, i=0, otherwise

  lev​A, B​​(i, j)=​⎩​⎪​⎪​⎪​⎪​⎨​⎪​⎪​⎪​⎪​⎧​​​​​​​​​i​j​min​⎩​⎨​⎧​​​lev​a, b​​(i, j−1)+1​lev​a, b​​(i−1, j)+1​lev​a, b​​(i−1, j−1)+1​(a​i​​≠b​i​​)​​​​​​​​​​​​, j=0​, i=0​, otherwise​​​​

  　　更多请参考 Wikipedia - Levenshtein_distance。

  C++代码

  　　有了状态转移方程，我们就可以愉快地DP了，时间复杂度O(MN)

  O(MN)，空间复杂度O(MN)

  O(MN)。

  

  1 #include <stdio.h>
   2 #include <string.h>
   3 #include <algorithm>
   4 using std::min;
   5 int lena, lenb;
   6 char a[1010], b[1010];
   7 void read() {
   8     scanf("%s%s", a, b);
   9     lena = strlen(a);
  10     lenb = strlen(b);
  11 }
  12 
  13 int dp[1010][1010];
  14 void work() {
  15     for(int i=1; i<=lena; i++) dp[i][0] = i;
  16     for(int j=1; j<=lenb; j++) dp[0][j] = j;
  17     for(int i=1; i<=lena; i++)
  18         for(int j=1; j<=lenb; j++)
  19             if(a[i-1]==b[j-1])
  20                 dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
  21             else
  22                 dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], min(dp[i][j-1], dp[i-1][j]))+1;
  23     printf("%d\n", dp[lena][lenb]);
  24 }
  25 
  26 int main() {
  27     read();
  28     work();
  29     return 0;
  30 }      

  

  几个小优化

  　　1. 如果满足A[i]==B[j]

  A[i]==B[j]（下标从11开始），实际上是可以直接取lev(i, j)=lev(i−1, j−1)

  lev(i, j)=lev(i−1, j−1)的。因为此时字符相同是不需要任何编辑操作的。这一优化也可以从上文转移方程中构造不等关系得出。

  　　2. 如果使用滚动数组，则空间复杂度可以降到O(2∗max{M, N})

  O(2∗max{M, N})。但也可以通过保存lev(i−1, j−1)lev(i−1, j−1)来把空间复杂度降到O(max{M, N})

  O(max{M, N})，如下：

  

  1 int dp[1010];
   2 void work() {
   3     for(int j=1; j<=lenb; j++) dp[j] = j;
   4     int t1, t2;
   5     for(int i=1; i<=lena; i++) {
   6         t1 = dp[0]++;
   7         for(int j=1; j<=lenb; j++) {
   8             t2 = dp[j];
   9             if(a[i-1]==b[j-1])
  10                 dp[j] = t1;
  11             else
  12                 dp[j] = min(t1, min(dp[j-1], dp[j]))+1;
  13             t1 = t2;
  14         }
  15     }
  16     printf("%d\n", dp[lenb]);
  17 }      

  

  以上即为Levenshtein距离算法的基本介绍