直线段参数表达式

有一条直线段 P 1 P 2 P_1P_2 P1​P2​，其端点坐标分别是 起 始 点 P 1 ( x 1 , y 1 ) 和 终 点 P 2 ( x 2 , y 2 ) 起始点P_1(x_1, y_1) 和 终点P_2(x_2, y_2) 起始点P1​(x1​,y1​)和终点P2​(x2​,y2​)。

那么这条直线段的参数表达式是：

P ( t ) = P 1 + ( P 2 − P 1 ) t = ( 1 − t ) P 1 + t P 2 ( 0 ⩽ t ⩽ 1 ) P(t)=P_1+(P_2-P_1)t=(1-t)P_1+tP_2 (0\leqslant t\leqslant1) P(t)=P1​+(P2​−P1​)t=(1−t)P1​+tP2​(0⩽t⩽1)

这个式子怎么理解呢？

我们可以把 P 1 P 2 P_1P_2 P1​P2​ 这条线段看作 100%，那么该线段上任意一点到起始点 P 1 P_1 P1​ 的距离所占 P 1 P 2 P_1P_2 P1​P2​ 比例为 t， t 的大小在 [0, 1] 内。 P 2 − P 1 P_2-P_1 P2​−P1​ 的含义就是沿着 P 1 P 2 P_1P_2 P1​P2​ 直线段方向。

我对 t 一开始的推导如下：

不妨设 P 1 ( x 1 , y 1 ) ， P 2 ( x 2 , y 2 ) P1(x_1, y_1)，P2(x_2,y_2) P1(x1​,y1​)，P2(x2​,y2​)，P1 和 P2 所在直线斜率为 α \alpha α.

则该直线参数方程为（可以参考我的 这篇文章）：

{ x = x 1 + t c o s α ( t 是 参 数 ) y = y 1 + t s i n α \begin{cases} x=x_1+tcos\alpha \\& (t 是参数) \\ y = y_1 + tsin\alpha \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​x=x1​+tcosαy=y1​+tsinα​(t是参数)​

因此根据该参数方程我们可以继续推导直线段的参数方程为

( x , y ) = ( x 1 , y 1 ) + ( c o s α , s i n α ) t (x, y)=(x_1,y_1)+(cos\alpha,sin\alpha)t (x,y)=(x1​,y1​)+(cosα,sinα)t

而

c o s α = x 2 − x 1 P 1 P 2 s i n α = y 2 − y 1 P 1 P 2 cos\alpha=\dfrac{x_2-x_1}{P1P2} \newline \newline sin\alpha=\dfrac{y_2-y_1}{P1P2} cosα=P1P2x2​−x1​​sinα=P1P2y2​−y1​​

继续推导可得：

( x , y ) = ( x 1 , y 1 ) + ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 ) t P 1 P 2 (x, y)=(x_1,y_1)+(x_2-x_1, y_2-y_1)\dfrac{t}{P1P2} (x,y)=(x1​,y1​)+(x2​−x1​,y2​−y1​)P1P2t​

而 t 的几何含义是 |t| = |P1P2|

图中 P(t) = P1 + (P2-P1)t 可以表示为：

( x , y ) = ( x 1 , y 1 ) + ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 ) t (x,y)=(x_1,y_1)+(x_2-x_1, y_2-y_1)t (x,y)=(x1​,y1​)+(x2​−x1​,y2​−y1​)t

那么为什么图片中的 t 的范围是 [0, 1]?

这里存在的问题就是直线段中两个端点是确定的，而推导当中的直线参数方程中的一点是变化的。两个的模型不同，因此不能这样推导。