《算法与数据结构》学习笔记13---二分查找

前言

    此内容为本人学习笔记。

正文

    针对有序数据集合的查找算法：二分查找（Binary Search）算法，也叫折半查找算法。二分查找是一种非常简单易懂的快速查找算法，生活中到处可见。比如说，有一个猜字游戏。一人随机写一个 0 到 99 之间的数字，然后另一人来猜第一个人写的是什么。猜的过程中，每猜一次，就会告诉第二个人猜的大了还是小了，直到猜出结果为止。

假设只有 10 个订单，订单金额分别是：8，11，19，23，27，33，45，55，67，98。现在要打到金额等于19的订单。利用二分思想，每次都与区间的中间数据对比大小，缩小查找区间的范围。

    二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。

O(logn)惊人的查找速度

    二分查找是一种非常高效的查找算法。现在假设数据大小是n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，也是会除以2.最坏情况下，直到查找区间被缩小为空。才停止。

被查找区间的大小变化：

                        n, n/2, n/4, …, n/(2k)

    可以看出来，这是一个等比数列。其中 n/2k=1 时，k 的值就是总共缩小的次数。而每一次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过了 k 次区间缩小操作，时间复杂度就是 O(k)。通过 n/2k=1，可以求得 k=log2n，所以时间复杂度就是 O(logn)。

     O(logn) 这种对数时间复杂度是一种极其高效的时间复杂度，有的时候甚至比时间复杂度是常量级 O(1) 的算法还要高效。为什么这么说呢？

    因为 logn 是一个非常“恐怖”的数量级，即便 n 非常非常大，对应的 logn 也很小。比如 n 等于 2 的 32 次方，大约是 42 亿。也就是说，如果在 42 亿个数据中用二分查找一个数据，最多需要比较 32 次。用大 O 标记法表示时间复杂度的时候，会省略掉常数、系数和低阶。对于常量级时间复杂度的算法来说，O(1) 有可能表示的是一个非常大的常量值，比如 O(1000)、O(10000)。所以，常量级时间复杂度的算法有时候可能还没有 O(logn) 的算法执行效率高。

二分查找的递归与非递归实现

    简单的二分查找并不难，难的是二分查找的变体问题。

    最简单的情况就是有序数组中不存在重复元素，java代码实现一个最简单的二分查找算法。

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;

  while (low <= high) {
    int mid = (low + high) / 2;
    if (a[mid] == value) {
      return mid;
    } else if (a[mid] < value) {
      low = mid + 1;
    } else {
      high = mid - 1;
    }
  }
  return -1;
}
           

    low、high、mid 都是指数组下标，其中 low 和 high 表示当前查找的区间范围，初始 low=0， high=n-1。mid 表示 [low, high] 的中间位置。通过对比 a[mid] 与 value 的大小，来更新接下来要查找的区间范围，直到找到或者区间缩小为 0，就退出。

    容易出错的地方：1.循环退出条件是 low<=high，而不是 low<high；2.实际上，mid=(low+high)/2 这种写法是有问题的。因为如果 low 和 high 比较大的话，两者之和就有可能会溢出。改进的方法是将 mid 的计算方式写成 low+(high-low)/2。更进一步，如果要将性能优化到极致的话，可以将这里的除以 2 操作转化成位运算 low+((high-low)>>1)。因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多；3.low=mid+1，high=mid-1。注意这里的 +1 和 -1，如果直接写成 low=mid 或者 high=mid，就可能会发生死循环。比如，当 high=3，low=3 时，如果 a[3] 不等于 value，就会导致一直循环不退出。

    实际上，二分查找除了用循环实现，还可以用递归来实现。

// 二分查找的递归实现
public int bsearch(int[] a, int n, int val) {
  return bsearchInternally(a, 0, n - 1, val);
}

private int bsearchInternally(int[] a, int low, int high, int value) {
  if (low > high) return -1;

  int mid =  low + ((high - low) >> 1);
  if (a[mid] == value) {
    return mid;
  } else if (a[mid] < value) {
    return bsearchInternally(a, mid+1, high, value);
  } else {
    return bsearchInternally(a, low, mid-1, value);
  }
}
           

二分查找应用场景的局限性

1. 二分查找依赖的是顺序表结构，就是数组。

       二分查找能否依赖其他数据结构呢？比如链表。答案是不可以的，主要原因是二分查找算法需要按照下标随机访问元素。数组按照下标随机访问数据的时间复杂度是 O(1)，而链表随机访问的时间复杂度是 O(n)。所以，如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高。二分查找只能用在数据是通过顺序表来存储的数据结构上。如果数据是通过其他数据结构存储的，则无法应用二分查找。

2. 二分查找针对的是有序数组

       二分查找对这一点的要求比较苛刻，数据必须是有序的。如果数据没有序，我们需要先排序。前面章节里我们讲到，排序的时间复杂度最低是 O(nlogn)。所以，如果我们针对的是一组静态的数据，没有频繁地插入、删除，我们可以进行一次排序，多次二分查找。这样排序的成本可被均摊，二分查找的边际成本就会比较低。

   但是，如果我们的数据集合有频繁的插入和删除操作，要想用二分查找，要么每次插入、删除操作之后保证数据仍然有序，要么在每次二分查找之前都先进行排序。针对这种动态数据集合，无论哪种方法，维护有序的成本都是很高的。

   所以，二分查找只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。针对动态变化的数据集合，二分查找将不再适用。

3. 数据量太小不适合二分查找

       如果要处理的数据量很小，完全没有必要用二分查找，顺序遍历就足够了。比如我们在一个大小为 10 的数组中查找一个元素，不管用二分查找还是顺序遍历，查找速度都差不多。只有数据量比较大的时候，二分查找的优势才会比较明显。

   不过，这里有一个例外。如果数据之间的比较操作非常耗时，不管数据量大小，都推荐使用二分查找。比如，数组中存储的都是长度超过 300 的字符串，如此长的两个字符串之间比对大小，就会非常耗时。需要尽可能地减少比较次数，而比较次数的减少会大大提高性能，这个时候二分查找就比顺序遍历更有优势。

4. 数据量太大也不适合二分查找

       二分查找的底层需要依赖数组这种数据结构，而数组为了支持随机访问的特性，要求内存空间连续，对内存的要求比较苛刻。比如，我们有 1GB 大小的数据，如果希望用数组来存储，那就需要1GB的连续内存空间。即便有 2GB 的内存空间剩余，但是如果这剩余的 2GB 内存空间都是零散的，没有连续的 1GB 大小的内存空间，那照样无法申请一个 1GB 大小的数组。而二分查找是作用在数组这种数据结构之上的，所以太大的数据用数组存储就比较吃力了，也就不能用二分查找了。

如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高，那查找的时间复杂度究竟是多少呢？

假设链表长度为n，二分查找每次都要找到中间点(计算中忽略奇偶数差异):

第一次查找中间点，需要移动指针n/2次；

第二次，需要移动指针n/4次；

第三次需要移动指针n/8次；

…

以此类推，一直到1次为值

总共指针移动次数(查找次数) = n/2 + n/4 + n/8 + …+ 1，这显然是个等比数列，根据等比数列求和公式：Sum = n - 1.

最后算法时间复杂度是：O(n-1)，忽略常数，记为O(n)，时间复杂度和顺序查找时间复杂度相同

但是稍微思考下，在二分查找的时候，由于要进行多余的运算，严格来说，会比顺序查找时间慢。

四种常见的二分查找变形问题

• 查找第一个值等于给定值的元素
• 查找最后一个值等于给定值的元素
• 查找第一个大于等于给定值的元素
• 查找最后一个小于等于给定值的元素

前提：数据都是从小到大排序的

变体一：查找第一个值等于给定值的元素

    之前的二分查找是最简单的一种，即有序数据集合中不存在重复的数据，我们在其中查找值等于某个给定值的数据。但是如果 有序数据集合中存在重复的数据，并且我们希望找到第一个值等于给定值的数据 ，之前讲的就不能正常工作了。

    一个有序数组： a[10] 1、3、4、5、6、7、8、8、8、11、18 此时需要查找第一个等于8的数据。

    首先拿 8 与区间的中间值 a[4] 比较，8 比 6 大，于是在下标 5 到 9 之间继续查找。下标 5 和 9 的中间位置是下标 7，a[7] 正好等于 8，所以代码就返回了。尽管 a[7] 也等于 8，但它并不是我们想要找的第一个等于 8 的元素，因为第一个值等于 8 的元素是数组下标为 5 的元素。

给出一种实现方法：

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;
  while (low <= high) {
    int mid =  low + ((high - low) >> 1);
    if (a[mid] > value) {
      high = mid - 1;
    } else if (a[mid] < value) {
      low = mid + 1;
    } else {
      if ((mid == 0) || (a[mid - 1] != value)) return mid;
      else high = mid - 1;
    }
  }
  return -1;
}
           

    a[mid] 跟要查找的 value 的大小关系有三种情况：大于、小于、等于。对于 a[mid]>value 的情况，我们需要更新 high= mid-1；对于 a[mid]<value 的情况，我们需要更新 low=mid+1。这两点都很好理解。那当 a[mid]=value 的时候应该如何处理呢？

    如果我们查找的是任意一个值等于给定值的元素，当 a[mid] 等于要查找的值时，a[mid] 就是我们要找的元素。但是，如果我们求解的是第一个值等于给定值的元素，当 a[mid] 等于要查找的值时，我们就需要确认一下这个 a[mid] 是不是第一个值等于给定值的元素。

    看第 11 行代码。如果 mid 等于 0，那这个元素已经是数组的第一个元素，那它肯定是要找的；如果 mid 不等于 0，但 a[mid] 的前一个元素 a[mid-1] 不等于 value，那也说明 a[mid] 就是要找的第一个值等于给定值的元素。

    如果经过检查之后发现 a[mid] 前面的一个元素 a[mid-1] 也等于 value，那说明此时的 a[mid] 肯定不是要查找的第一个值等于给定值的元素。那就更新 high=mid-1，因为要找的元素肯定出现在 [low, mid-1] 之间。

变体二：查找最后一个值等于给定值的元素

    与之前查找第一个元素类似，这里先给出示例：

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;
  while (low <= high) {
    int mid =  low + ((high - low) >> 1);
    if (a[mid] > value) {
      high = mid - 1;
    } else if (a[mid] < value) {
      low = mid + 1;
    } else {
      if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] != value)) return mid;
      else low = mid + 1;
    }
  }
  return -1;
}
           

    还是看第 11 行代码：

1. 如果 a[mid] 这个元素已经是数组中的最后一个元素了，那它肯定是要找的；
2. 如果 a[mid] 的后一个元素 a[mid+1] 不等于 value，那也说明 a[mid] 就是要找的最后一个值等于给定值的元素。2. 如果 a[mid] 的后一个元素 a[mid+1] 不等于 value，那也说明 a[mid] 就是要找的最后一个值等于给定值的元素。
3. 如果经过检查之后，发现 a[mid] 后面的一个元素 a[mid+1] 也等于 value，那说明当前的这个 a[mid] 并不是最后一个值等于给定值的元素。就更新 low=mid+1，因为要找的元素肯定出现在 [mid+1, high] 之间。3. 如果经过检查之后，发现 a[mid] 后面的一个元素 a[mid+1] 也等于 value，那说明当前的这个 a[mid] 并不是最后一个值等于给定值的元素。就更新 low=mid+1，因为要找的元素肯定出现在 [mid+1, high] 之间。

变体三：查找第一个大于等于给定值的元素

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;
  while (low <= high) {
    int mid =  low + ((high - low) >> 1);
    if (a[mid] >= value) {
      if ((mid == 0) || (a[mid - 1] < value)) return mid;
      else high = mid - 1;
    } else {
      low = mid + 1;
    }
  }
  return -1;
}
           

1. 如果 a[mid] 小于要查找的值 value，那要查找的值肯定在 [mid+1, high] 之间，所以，我们更新 low=mid+1。
2. 对于 a[mid] 大于等于给定值 value 的情况，我们要先看下这个 a[mid] 是不是我们要找的第一个值大于等于给定值的元素。如果 a[mid] 前面已经没有元素，或者前面一个元素小于要查找的值 value，那 a[mid] 就是我们要找的元素。这段逻辑对应的代码是第 7 行。
3. 如果 a[mid-1] 也大于等于要查找的值 value，那说明要查找的元素在 [low, mid-1] 之间，所以，我们将 high 更新为 mid-1。

变体四：查找最后一个小于等于给定值的元素

public int bsearch7(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;
  while (low <= high) {
    int mid =  low + ((high - low) >> 1);
    if (a[mid] > value) {
      high = mid - 1;
    } else {
      if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] > value)) return mid;
      else low = mid + 1;
    }
  }
  return -1;
}
           

    通过IP地址来查找IP归属地的功能，相信都用过。没用过也没关系，你现在可以打开百度，在搜索框里随便输一个 IP 地址，就会看到它的归属地。这个功能并不复杂，它是通过维护一个很大的 IP 地址库来实现的。地址库中包括 IP 地址范围和归属地的对应关系。

    当想要查询 202.102.133.13 这个 IP 地址的归属地时，就在地址库中搜索，发现这个 IP 地址落在 [202.102.133.0, 202.102.133.255] 这个地址范围内，那就可以将这个 IP 地址范围对应的归属地“山东东营市”显示给用户了。

[202.102.133.0, 202.102.133.255]  山东东营市 
[202.102.135.0, 202.102.136.255]  山东烟台 
[202.102.156.34, 202.102.157.255] 山东青岛 
[202.102.48.0, 202.102.48.255] 江苏宿迁 
[202.102.49.15, 202.102.51.251] 江苏泰州 
[202.102.56.0, 202.102.56.255] 江苏连云港
           

    在庞大的地址库中逐一比对 IP 地址所在的区间，是非常耗时的。假设有 12 万条这样的 IP 区间与归属地的对应关系，如何快速定位出一个 IP 地址的归属地呢？

    现在这个问题应该很简单了。如果 IP 区间与归属地的对应关系不经常更新，可以先预处理这 12 万条数据，让其按照起始 IP 从小到大排序。如何来排序呢？因为IP 地址可以转化为 32 位的整型数。所以，可以将起始地址，按照对应的整型值的大小关系，从小到大进行排序。

    然后，这个问题就可以转化为第四种变形问题“在有序数组中，查找最后一个小于等于某个给定值的元素”了。

    当要查询某个 IP 归属地时，可以先通过二分查找，找到最后一个起始 IP 小于等于这个 IP 的 IP 区间，然后，检查这个 IP 是否在这个 IP 区间内，如果在，就取出对应的归属地显示；如果不在，就返回未查找到。