曲线曲面积分、重积分总结

文章目录

• ​​写在前面​​
• ​​曲线积分​​

• ​​第一型曲线积分​​

• ​​引入​​
• ​​定义​​
• ​​性质​​
• ​​计算方法​​

• ​​第二型曲线积分​​

• ​​引入​​
• ​​定义​​
• ​​性质​​
• ​​计算​​

• ​​二重积分​​

• ​​引入​​
• ​​定义​​
• ​​性质​​
• ​​Green公式​​
• ​​曲线积分与路线的无关性​​
• ​​变量替换​​

• ​​直角坐标变换​​
• ​​极坐标变换​​

• ​​广义极坐标变换​​

• ​​三重积分​​

• ​​引入​​
• ​​化成累次积分​​

• ​​“先切条，后扎捆”：先对高积分，后对截面积分​​
• ​​“先切面，后叠加”：先对截面积分，后对高积分​​

• ​​变量替换​​

• ​​一般情况​​
• ​​柱面坐标变换​​
• ​​球坐标变换​​

• ​​广义球坐标变换​​

• ​​曲面积分​​

• ​​第一型曲面积分​​

• ​​引入​​
• ​​计算​​

• ​​第二型曲面积分​​

• ​​曲面的侧​​
• ​​引入​​
• ​​性质​​
• ​​计算​​

• ​​Gauss公式​​

• ​​定理​​

• ​​Stokes公式​​

• ​​右手法则​​
• ​​定理​​
• ​​另一种形式​​

• ​​空间曲线积分与路线的无关性​​

写在前面

总结常见的各种曲线曲面积分以及重积分，参考华东师大版《数学分析(下册)》（第四版）。

曲线积分

研究定义在平面或空间曲线段上的函数的积分。

第一型曲线积分

引入

利用密度函数的积分求质量，即在计算质量分布在平面（二维）或空间曲线段（三维）上的物体的质量时，使用第一型曲线积分。第一型曲线积分与曲线的方向无关。

定义

设为平面上可求长度的曲线段，是定义在上的函数。对曲线作分割,它把分割成个可求长度的小曲线段，的弧长记为，分割的细度为，在上任取一点. 若有极限

且的值与分割、点的取法无关，则称此极限为在上的第一型曲线积分，记作

性质

1. 线性性；
2. 区间可加性；
3. 积分不等式；
4. 绝对值不等式；

5. 若存在，的弧长为，则存在常数，使得

   这里.

6. 几何意义：以定义在平面上的分段光滑曲线为准线，母线平行于轴的柱面截取部分的面积。

计算方法

定理：

设有光滑曲线

函数为定义在上的连续函数，则有

证明思路：由弧长公式和积分中值定理得到。

另一种常用的格式：

当曲线由方程表示，且在上有连续导函数时，有

第二型曲线积分

引入

物理学中的变力做功问题。第二型曲线积分与曲线的方向有关。

定义

设函数定义在平面有向可求长度曲线上。对的任一分割, 它把分成个小弧段

其中, 记各小弧段的弧长为，分割的细度. 又设的分点的坐标为，记。在每个小弧段上任取一点，若极限

存在且与分割与点的取法无关，则称此极限为函数沿有向曲线上的第二型曲线积分，记为

若为封闭的有向曲线，则记为

性质

1. 线性性；
2. 有向线段首尾相接，积分值不变（向量加法）；
3. 方向改变，符号相反，即：.

计算

设平面曲线

其中 在上具有一阶连续导函数，且，又设与为上的连续函数，则沿从到的第二型曲线积分

二重积分

引入

计算曲顶柱体的体积。

定义

与定积分类似。

性质

1. 线性性；
2. 积分不等式；
3. 积分的绝对值不等式；
4. 若函数在上都可积，且没有公共内点，则在上也可积，且

5. 若在上可积，且

   则

   这里为积分区域的面积；

6. （中值定理）若在有界闭域上连续，则存在，使得

   其几何意义是：以为底，为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，此平顶柱体的高等于在区域中某点的函数值.

Green公式

若函数在闭区域上连续，且有连续的一阶偏导数，则有

这里为区域的边界曲线，并取正方向。

Green公式联系了第二型曲线积分与二重积分。

曲线积分与路线的无关性

设为单连通区域，若函数在内连续，且具有一阶连续偏导数，则下列的四个条件等价：

1. 沿内任一按段光滑封闭曲线有：
2. 对中任一按段光滑曲线，曲线积分与路线无关，只与起始点的选取有关;
3. 是内某一函数的全微分，即在内有;
4. 在内处处成立

变量替换

直角坐标变换

用于一般的变量替换。

设在有界闭域上可积，变换将平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域一对一地映成平面上的闭区域，函数在内分别具有一阶连续偏导数，且它们的函数行列式

则

极坐标变换

常用于类型出现在被积函数中的情况，利用极坐标变换可以更有效地化简积分。

设在有界闭域上可积，且在极坐标变换

作用下，平面上有界区域与平面上区域对应，则成立

广义极坐标变换

则有.

三重积分

引入

对密度函数进行积分，求一个空间立体的质量，就可导出三重积分。

化成累次积分

“先切条，后扎捆”：先对高积分，后对截面积分

若函数在长方体上的三重积分存在，且对任意，存在，则积分也存在，且

推论：

对于上下限可变的情形，可类似得到

此时为在平面上的投影。

“先切面，后叠加”：先对截面积分，后对高积分

若函数在长方体上的三重积分存在，且对任意，二重积分存在，其中，则积分也存在，且

推论(常用)：

若函数在长方体上的三重积分存在，且对任意固定的，积分存在，其中为截面，则积分存在，且

变量替换

一般情况

柱面坐标变换

球坐标变换

广义球坐标变换

曲面积分

第一型曲面积分

引入

可类比第一型曲线积分，不过此时质量分布在某一曲面块上而非曲线上。

计算

设有光滑曲面

为上的连续函数，则

第二型曲面积分

曲面的侧

通常由所表示的曲面都是双侧曲面，当以其法线正方向与轴正向的夹脚成锐角的一侧（上侧）为正侧时，则另一侧（下侧）为负侧。当为封闭曲面时，常规定曲面外侧为正侧，内侧为负侧。

引入

计算流体以以一定的流速从曲面负侧向正侧流动时产生的流量。

性质

1. 线性性；
2. 积分曲面的加性。

计算

设是定义在光滑曲面上的连续函数，以的上侧为正侧（这时的法线方向与轴正向成锐角），则有

Gauss公式

建立沿空间闭曲面的曲面积分和三重积分之间的联系。

定理

设空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面围成。若函数在上连续，且有一阶连续偏导数，则

其中取外侧。

Stokes公式

建立沿空间双侧曲面的积分与沿其边界曲线的积分之间的联系。

右手法则

人沿着曲面边界前进，左手边为指定的一侧，正向；右手边为指定的一侧，负向。

定理

设光滑曲面的边界是按段光滑的连续曲线。若函数在(连同)上连续，且有一阶连续偏导数，则

其中的侧与的方向按右手法则确定。

另一种形式

空间曲线积分与路线的无关性

1. 沿​内任一按段光滑封闭曲线有：
2. 对中任一按段光滑曲线，曲线积分与路线无关;
3. 是内某一函数的全微分，即在内有;
4. 在内处处成立