【线性代数】行列式

二阶与三阶行列式

一、二阶行列式

记为$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\ a_{21}&a_{22}\ \end{vmatrix}$，其中数$a_{ij}(i=1,2;j=1,2)$称为上面行列式的元素或元，元素$a_{ij}$的第一个下标$i$称为行标，表名该元素在第$i$行，第二个下标$j$为列标，表明该元素位于第$j$列。位于第$i$行第$j$列的元素称为上面行列式的$(i,j)$元

例1：求$\begin{vmatrix}3&5\1&6\end{vmatrix}$的值

$\begin{vmatrix}3&5\1&6\end{vmatrix}=2\times6-1\times5=7$

二、三阶行列式

已知$\begin{vmatrix}{ a _ { 11 } } & { a _ { 12 } } & { a _ { 13 } } \ { a _ { 21 } } & { a _ { 22 } } & { a _ { 23 } } \ { a _ { 31 } } & { a _ { 32 } } & { a _ { 33 } } \end{vmatrix}$，我们把该式称为三阶行列式

例2：计算三阶行列式$D=\begin{vmatrix} { 1 } & { 2 } & { - 4 } \ { - 2 } & { 2 } & { 1 } \ { - 3 } & { 4 } & { - 2 } \end{vmatrix}$

$D=1\times2\times(-2)+(-3)\times2\times1+(-4)\times(-2)\times4-(-4)\times2\times(-3)-1\times4\times1-(-2)\times2\times(-2)=-14$

全排列及其逆序数

1. 全排列的定义

把$n$个不同的元素排成一列，叫做这$n$个元素的全排列（也简称排列）

2. 逆序数的定义

对于$n$个不同的元素，先规定个元素之间有一个标准次序（例如$n$个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这$n$个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有$1$个逆序。一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数

3. 奇排列和偶排列

逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数叫做偶数的排列叫做偶排列

例1：求排列$32516$的逆序数

$1+0+3+1=5$

n阶行列式的定义

定义：设有$n^2$个数，排成$n$行$n$列$\begin{matrix}{ a _ { 11 } } & { a _ { 12 } } & { \cdots } & { a _ { 1 n } } \ { a _ { 21 } } & { a _ { 22 } } & { \cdots } & { a _ { 2 n } } \ { \vdots } & { \vdots } & {   } & { \vdots } \ { a _ { n 1 } } &{ a _ { n 2 } } & { \cdots } & { a _ { n n }}\end{matrix}$，作出表中位于不同行不同列的$n$个数的乘积，由于这样的排列共有$n!$个，所有这$n!$项的代数和$\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}$为$n$阶行列式记作$D=\begin{vmatrix}{ a _ { 11 } } & { a _ { 12 } } & { \cdots } & { a _ { 1 n } } \ { a _ { 21 } } & { a _ { 22 } } & { \cdots } & { a _ { 2 n } } \ { \vdots } & { \vdots } & {   } & { \vdots } \ { a _ { n 1 } } &{ a _ { n 2 } } & { \cdots } & { a _ { n n }}\end{vmatrix}$，简称作$det(a_{ij})$，其中数$a_{ij}$为行列式$D$的$(i,j)$元

例1：证明以下$n$阶行列式的值，其中未写出的元素都是$0$

$\begin{vmatrix}\lambda_1&&&\&\lambda_2&&\&&\ddots&\&&&\lambda_n\end{vmatrix}=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$

$\begin{vmatrix}&&&\lambda_1\&&\lambda_2&\&\cdots&&\\lambda_n&&&\end{vmatrix}=(-1)^\frac{n(n-1)}{2}\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$

同理

主对角线上三角矩阵$=$主对角线下三角矩阵$=$主对角线矩阵$=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$

副对角线上三角矩阵$=$副对角线下三角矩阵$=$副对角线矩阵$=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{n1}a_{(n-1)2}\cdots a_{1n}$

行列式的性质

性质1：行列式与它的转置行列式相等

性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号

推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零

性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数$k$，等于用$k$乘以此行列式

推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面

性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零

性质5：若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之和：$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&(a_{1i}+a_{1i}')&\cdots&a_{1n}\a_{21}&a_{22}&\cdots&(a_{2i}+a_{2i}')&\cdots&a_{2n}\\vdots&\vdots&&\vdots&&\vdots\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&(a_{ni}+a_{ni}')&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$则$D=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1i} & \cdots & a_{1n}\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2i} & \cdots & a_{2n}\ \vdots & \vdots&&\vdots&&\vdots\a_{n1} & a_{n2} & \cdots&a_{ni}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1i}'&\cdots&a_{1n}\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2i}'&\cdots&a_{2n}\\vdots&\vdots&&\vdots&&\vdots\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{ni}'&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$

性质6：把行列式的某一列（行）的该元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变

例1：计算$\begin{vmatrix}a&b&\cdots&b\b&a&\cdots&b\\vdots&\vdots&&\vdots\b&b&\cdots&a\end{vmatrix}_{n\times n}$

$\begin{aligned}\begin{vmatrix}a&b&\cdots&b\b&a&\cdots&b\\vdots&\vdots&&\vdots\b&b&\cdots&a\end{vmatrix}_{n\times n}&=\begin{vmatrix}[a+(n-1)b]&[a+(n-1)b]&\cdots&[a+(n-1)b]\b&a&\cdots&b\\vdots&\vdots&&\vdots\b&b&\cdots&a\end{vmatrix}\&=[a+(n-1)b]\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\b&a&\cdots&b\\vdots&\vdots&&\vdots\b&b&\cdots&a\end{vmatrix}\&=[a+(n-1)b]\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\0&a-b&\cdots&0\\vdots&\vdots&&\vdots\0&0&\cdots&a-b\end{vmatrix}\&=a+(n-1)b^{n-1}\end{aligned}$

例2：设$D=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1k}\\vdots&&\vdots&&0&\a_{k1}&\cdots&a_{kk}\c_{11}&\cdots&c_{1k}&b_{11}&\cdots&b_{1n}\\vdots\c_{n1}&\cdots&c_{nk}&b_{n1}&\cdots&b_{nn}\end{vmatrix},D_{1}=\det(a_{ij})=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1k}\\vdots&&\vdots\a_{k1}&\cdots&a_{kk}\end{vmatrix},D_2=\det(b_{ij})=\begin{vmatrix}b_{11}&\cdots&b_{1n}\\vdots&&\vdots\b_{n1}&\cdots&b_{nn}\end{vmatrix}$

证明$D=D_1D_{2}$

$D_{1}\overset{\text{行变换}}{=}\begin{vmatrix}D_{11}&\cdots&0\\vdots&\ddots&\vdots\D_{k1}&\cdots&D_{kk}\end{vmatrix}=D_{11}\cdots D_{kk}$（前$k$行进行行变换）

$D_2\overset{\text{列变换}}{=}\begin{vmatrix}q_{11}&\cdots&0\\vdots&\ddots&\vdots\q_{n1}&\cdots&q_{nn}\end{vmatrix}=q_{11}\cdots q_{nn}$（右$k$列进行列变换）

$D=\begin{vmatrix}D_{11}\\vdots&\ddots\D_{k1}&\cdots&D_{kk}\C_{11}&\cdots&C_{1k}&q_{11}\\vdots&&\vdots&\vdots&\ddots\C_{n1}&\cdots&C_{nk}&q_{n1}&\cdots&q_{nn}\end{vmatrix}=D_{11}\cdots D_{kk}q_{11}\cdots q_{nn}=D_{1}D_2$

即$D=\begin{vmatrix}D_{1}&0\D_{3}&D_{2}\end{vmatrix}=D_{1}\cdot D_{2}$，同理有$D=\begin{vmatrix}0&D_{1_{n\times n}}\D_{2_{m\times m}}&D_{3}\end{vmatrix}=(-1)^{mn}D_{1}\cdot D_{2}$

行列式按行（列）展开

一、代数余子式的定义

在$n$阶行列式中，把$(i,j)$元$a_{ij}$所在的第$i$行和第$j$列划去后，留下来的$n-1$阶行列式叫做$(i,j)$元$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$；记$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$，$A_{ij}$叫做$(i,j)$元$a_{ij}$的代数余子式

定理1：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即$$D = a _ { i 1 } A _ { i 1 } + a _ { i 2 } A _ { i 2 } + \cdots + a _ { i n } A _ { i n } ( i = 1 , 2 , \cdots , n )$$或$$D = a _ { 1 j } A _ { 1 j } + a _ { 2 j } A _ { 2 j } + \cdots + a _ { n j } A _ { n j } ( j = 1 , 2 , \cdots , n )$$

例1：用展开定理求行列式$\begin{vmatrix}3&1&-1&2\-5&1&3&-4\2&0&1&-1\1&-5&3&-3\end{vmatrix}$的值

$\begin{aligned}\begin{vmatrix}3&1&-1&2\-5&1&3&-4\2&0&1&-1\1&-5&3&-3\end{vmatrix}&=\begin{vmatrix}5&1&-1&1\-11&1&3&-1\0&0&1&0\-5&-5&3&0\end{vmatrix}\&=1\times(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}5&1&1\-11&1&-1\-5&-5&0\end{vmatrix}\&=\begin{vmatrix}5&1&1\-6&2&0\-5&-5&0\end{vmatrix}\&=1\times(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}-6&2\-5&-5\end{vmatrix}\&=40\end{aligned}$

推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零$$a _ { i 1 } A _ { j 1 } + a _ { i 2 } A _ { j 2 } + \cdots + a _ { i n } A _ { j n } = 0 , \quad i \neq j$$或$$a _ { 1 i } A _ { 1 j } + a _ { 2 i } A _ { 2 j } + \cdots + a _ { n i } = 0 , \quad i \neq j$$

例2：设$D=\begin{vmatrix}3&-5&2&1\1&1&0&-5\-1&3&1&3\2&-4&-1&-3\end{vmatrix}$，$D$的$(i,j)$元的余子式和代数余子式依次记作$M_{ij}$和$A_{ij}$，求$A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}$及$M_{11}+M_{21}+M_{31}+M_{41}$

$1\cdot A_{11}+1\cdot A_{12}+1\cdot A_{13}+1\cdot A_{14}=\begin{vmatrix}1&1&1&1\1&1&0&-5\-1&3&1&3\2&-4&-1&-3\end{vmatrix}=4$

$\begin{aligned}M_{11}+M_{21}+M_{31}+M_{41}&=1\cdot A_{11}+(-1)\cdot A_{21}+1\cdot A_{31}+(-1)\cdot A_{41}\&=\begin{vmatrix}1&-5&2&1\-1&1&0&-5\1&3&1&3\-1&-4&-1&-3\end{vmatrix}\&=0\end{aligned}$

克拉默法则

含有$n$个未知数$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$的$n$个线性方程组$\begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{21}x_{2}+\cdots+a_{n}x_{n}=b_{1}, \ a_{21}x_{1}+a_{21}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}, \ \cdots \ a_{1n}x_{1}+a_{2n}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}=b_{n}\ \end{cases}$与二、三元线性方程组相类似，它的解可以用$n$阶行列式表示

克拉默法则：如果线性方程组的系数行列式不为零，即

$$

D=\begin{vmatrix}

a_{11}&\cdots&a_{1n}\\vdots&&\vdots\a_{n1}&\cdots&a_{nn}

\end{vmatrix}\ne 0

$$

那么方程组有唯一解$x_{1}=\frac{D_{1}}{D},x_2=\frac{D_{2}}{D},\cdots,x_n=\frac{D_{n}}{D}$，其中$D_{j}(j=1,2,\cdots,n)$是把系数行列式$D$中第$j$列的元素方程组右端的常数项代替后所得到的$n$阶行列式，即

$$

D_{j}=\begin{vmatrix}

a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&b_{1}&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&b_{n}&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn}

\end{vmatrix}

$$

例1：解线性方程组$\begin{cases}2x_1+x_2-5x_3+x_4=8\x_1-3x_2-6x_4=9\2x_2-x_3+2x_4=-5\x_1+4x_2-7x_3+6x_4=0\end{cases}$

$D=\begin{vmatrix}2&1&-5&1\1&-3&0&-6\0&2&-1&2\1&4&-7&6\end{vmatrix}=27\ne0$

$D_1=\begin{vmatrix}8&1&-5&1\9&-3&0&-6\-5&2&-1&2\0&4&-7&6\end{vmatrix}=81$

同理$D_2=-108,D_3=-27,D_4=27$

故$x_1=\frac{D_{1}}{D}=3,x_2=-4,x_3=-1,x_4=1$