Gamma 函数 VS Beta 函数

Gamma

函数和

Beta

函数是最基本也是最重要的两个特殊函数，它们如同基石般奠定了整个特殊函数论大厦的基础。相信你在微积分和统计里，经常看到他们的身影，所以快来

get

Gamma 函数和 Beta 函数的技能。

1 Gamma函数

1.1 介绍

        伽马函数（Gamma 函数），即欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分，可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

        我们接触的Gamma函数一般是下面的形式：

Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t \Gamma(x) = \int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt Γ(x)=∫0∞​tx−1e−tdt

        通过分部积分的方法，可以推导出这个函数具有如下的递归性质：

Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) \Gamma(x+1) = x\Gamma(x) Γ(x+1)=xΓ(x)

        于是很容易证明， Γ ( x ) \Gamma(x) Γ(x) 函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，具有如下性质：

Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! \Gamma(n) = (n-1)! Γ(n)=(n−1)!

        要了解更多的 Gamma 函数的历史，推荐阅读

• Philip J. Davis，Leonhard Euler’s Integral: A Historical Profile of the Gamma Function
• Jacques Dutka，The Early History of the Factorial Function
• Detlef Gronnau，Why is the gamma function so as it is?

1.2 推导

        在某一个特殊的时刻，欧拉发现阶乘 n ! n! n! 可以用一个无穷乘积表示：

n ! = [ ( 2 1 ) n 1 n + 1 ] [ ( 3 2 ) n 2 n + 2 ] [ ( 4 3 ) n 3 n + 3 ] ⋯ ① n! = [(\frac{2}{1})^n \frac{1}{n+1}] [(\frac{3}{2})^n \frac{2}{n+2}] [(\frac{4}{3})^n \frac{3}{n+3}] \cdots \quad ① n!=[(12​)nn+11​][(23​)nn+22​][(34​)nn+33​]⋯①

        如果有m项乘积：

        当 m > > n m >> n m>>n 时，上式可继续计算：

        当 m → ∞ m \to \infty m→∞ 时，无穷乘积的极限：

lim ⁡ n → ∞ ( m + 1 ) n 1 × 2 × 3 × ⋯ × m ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ⋯ ( n + m ) ⏟ ( 1 ) = lim ⁡ n → ∞ n ! ∏ k = 1 n m + 1 m + k ⏟ ( 2 ) = n ! \lim_{n \to \infty}\underbrace{(m+1)^n \frac{1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times m}{(n+1)(n+2)(n+3)\cdots(n+m)}}_{(1)} = \lim_{n \to \infty} \underbrace{n! \prod_{k=1}^{n} \frac{m+1}{m+k}}_{(2)} = n! n→∞lim​(1)

(m+1)n(n+1)(n+2)(n+3)⋯(n+m)1×2×3×⋯×m​​​=n→∞lim​(2)

n!k=1∏n​m+km+1​​​=n!

        值得注意的是， n ! n! n! 明显不等于(2)，(2)又是由(1)整理而来的，因此 n ! n! n! 也不等于(1)，而是在 m → ∞ m \to \infty m→∞ 时 n ! n! n! 等于(1)或(2)的极限。以 n = 2 n = 2 n=2 为例， n ! = 2 n! = 2 n!=2 ， m m m 是2、50、100时，(1)的结果分别是1.5、1.9615384615384617、1.980392156862745，展开的越多，越接近于 n ! n! n!。

        有了这个无穷乘积，欧拉便把 n = 1 2 n = \frac{1}{2} n=21​ 代入①式，得到：

        根号里面的东西是英国数学家沃利斯（John Wallis）在1665年写下的沃利斯公式：

2 1 × 2 3 × 4 3 × 4 5 × 6 5 × 6 7 × 8 7 × 8 9 × 10 9 ⋯ = ∏ n = 1 ∞ 2 n 2 n − 1 ⋅ 2 n 2 n + 1 = π 2 \frac{2}{1} \times \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{5} \times \frac{6}{7} \times \frac{8}{7} \times \frac{8}{9} \times \frac{10}{9} \cdots = \prod_{n=1}^{\infty}\frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{\pi}{2} 12​×32​×34​×54​×56​×76​×78​×98​×910​⋯=n=1∏∞​2n−12n​⋅2n+12n​=2π​

        于是，欧拉把沃利斯公式折半：

2 3 × 4 3 × 4 5 × 6 5 × 6 7 × 8 7 × 8 9 × 10 9 ⋯ = π 4 ( 1 2 ) ! = π 2 \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{5} \times \frac{6}{7} \times \frac{8}{7} \times \frac{8}{9} \times \frac{10}{9} \cdots = \frac{\pi}{4} \\ (\frac{1}{2})! = \frac{\sqrt \pi}{2} 32​×34​×54​×56​×76​×78​×98​×910​⋯=4π​(21​)!=2π

​​

        欧拉发现 ( 1 2 ) ! (\frac{1}{2})! (21​)! 的计算结果中居然有 π \pi π，有 π \pi π 的地方通常会和圆的积分相关。于是，欧拉开始尝试把 n ! n! n! 表达为积分形式。虽然Wallis 的时代微积分还没有发明出来，Wallis是使用插值的方式做推导计算的，但是Wallis 公式的推导过程基本上就是在处理积分 ∫ 0 1 x 1 2 ( 1 − x ) 1 2 d x \int_{0}^{1}x^{\frac{1}{2}}(1-x)^{\frac{1}{2}}dx ∫01​x21​(1−x)21​dx，受Wallis 的启发，欧拉开始考虑如下的一般形式的积分：

J ( a , n ) = ∫ 0 1 x a ( 1 − x ) n d x J(a,n) = \int_{0}^{1}x^{a}(1-x)^{n}dx J(a,n)=∫01​xa(1−x)ndx

        式子中， n n n 为正整数， a a a 为正实数。利用分部积分：

        继续使用分部积分：

        上面的所有递推合并到一起就得到了最终的结果：

        现在阶乘变成了积分的形式。然而这个式子的前提是 n n n 是正整数，无法推广到分数，欧拉继续研究如何化简这个表达式。 a a a 是一个任意实数，能否让 a a a 消失？一个惯用的方法是取极端值， a > 0 a > 0 a>0 的一个极端是无穷，看看让 a a a 趋近于无穷时会得到什么结果。这里欧拉使用的技巧是让 a a a 等于两个实数的商：

        等式两侧同时除以 ( f + g ) ( f + 2 g ) ⋯ ( f + n g ) (f+g)(f+2g) \cdots (f+ng) (f+g)(f+2g)⋯(f+ng)：

n ! ( f + g ) ( f + 2 g ) ⋯ ( f + n g ) = f + ( n + 1 ) g g n + 1 ∫ 0 1 x f g ( 1 − x ) n d x ④ \frac{n!}{(f+g)(f+2g) \cdots (f+ng)} = \frac{f+(n+1)g}{g^{n+1}} \int_{0}^{1}x^{\frac{f}{g}}(1-x)^n dx \quad ④ (f+g)(f+2g)⋯(f+ng)n!​=gn+1f+(n+1)g​∫01​xgf​(1−x)ndx④

        当 f → 1 ， g → 0 f \to 1，g \to 0 f→1，g→0 时，左侧趋近于 n ! n! n!，但是右侧出现了讨厌的0分母，此时为了简化计算：

        将上式的结论代入④：

        用求极限的方式去掉 f 和 g f 和 g f和g：

lim ⁡ f → 1 ， g → 0 n ! ( f + g ) ( f + 2 g ) ⋯ ( f + n g ) = n ! lim ⁡ f → 1 ， g → 0 f + ( n + 1 ) g ( f + g ) n + 1 = 1 \lim_{f \to 1，g \to 0} \frac{n!}{(f+g)(f+2g) \cdots (f+ng)} = n! \\ \lim_{f \to 1，g \to 0} \frac{f+(n+1)g}{(f+g)^{n+1}} =1 f→1，g→0lim​(f+g)(f+2g)⋯(f+ng)n!​=n!f→1，g→0lim​(f+g)n+1f+(n+1)g​=1

        当 f → 1 ， g → 0 时 ， h → 0 ， ( 1 − t h ) / h f \to 1，g \to 0 时，h \to 0，(1-t^h)/h f→1，g→0时，h→0，(1−th)/h的极限变成了 0 / 0 0/0 0/0 的形式，在洛必达法则的帮助下， 0 / 0 型 和 ∞ / ∞ 0/0 型和 \infty/\infty 0/0型和∞/∞ 型的极限也是可以求解的。令 u ( h ) = 1 − t h ， v ( h ) = h u(h) = 1-t^h，v(h) = h u(h)=1−th，v(h)=h，根据洛必达法则：

lim ⁡ h → 0 u ( h ) v ( h ) = lim ⁡ h → 0 u ′ ( h ) v ′ ( h ) = lim ⁡ h → 0 − l n t 1 = − l n t \lim_{h \to 0} \frac{u(h)}{v(h)} = \lim_{h \to 0} \frac{u^{'}(h)}{v^{'}(h)} = \lim_{h \to 0} \frac{-lnt}{1} = -lnt h→0lim​v(h)u(h)​=h→0lim​v′(h)u′(h)​=h→0lim​1−lnt​=−lnt

        于是在对⑤的等式两侧求极限时，神奇的一幕出现了：

n ! = ∫ 0 1 ( − l n t ) n d t n! = \int_{0}^{1}(-lnt)^ndt n!=∫01​(−lnt)ndt

        任意实数 a a a 已经消失了， n ! n! n! 变成了一个简洁的积分形式。继续变换：

        于是得到欧拉最早定义的伽玛函数，实际上就是阶乘扩展到实数范围：

Γ ( x ) = x ! = ∫ 0 ∞ u x e − u d u （ x > 0 ） \Gamma(x) = x! = \int_{0}^{\infty}u^xe^{-u}du（x>0） Γ(x)=x!=∫0∞​uxe−udu（x>0）

        但是欧拉后来修改了伽玛函数的定义，变成了：

Γ ( x ) = ( x − 1 ) ! Γ ( x ) = ∫ 0 1 ( − l n t ) x − 1 d t ⑥ Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ u x − 1 e − u d u ⑦ \Gamma(x) = (x-1)! \quad\\ \Gamma(x) = \int_{0}^{1}(-lnt)^{x-1}dt \quad ⑥ \\ \Gamma(x) = \int_{0}^{\infty}u^{x-1} e^{-u}du \quad ⑦ Γ(x)=(x−1)!Γ(x)=∫01​(−lnt)x−1dt⑥Γ(x)=∫0∞​ux−1e−udu⑦

        这也是现在我们所说的伽玛函数，⑥和⑦是两种表达，⑦更为常见，从积分域可以看出 t 和 u t和u t和u 的取值范围。

        看一下 Γ \Gamma Γ 函数的曲线：

        补充：

        Gamma函数还有其他定义，这里只简单介绍，详细推导请阅读：Gamma函数的那些事儿——四种定义

Γ ( x ) = lim ⁡ n → ∞ n x n ! x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ⋯ ( x + n − 1 ) ( x + n ) Γ ( x ) = 1 x ∏ k = 1 ∞ ( 1 + 1 k ) x 1 + x k 1 Γ ( x ) = x e γ x ∏ k = 1 ∞ ( 1 + x k ) e − x k （ W e i e r s t r a s s 无 穷 乘 积 形 式 ） \Gamma(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{n^xn!}{x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)(x+n)} \\ \Gamma(x) = \frac{1}{x} \prod_{k=1}^{\infty}\frac{(1+\frac{1}{k})^x}{1+\frac{x}{k}} \\ \frac{1}{\Gamma(x)} = xe^{\gamma x} \prod_{k=1}^{\infty}(1+\frac{x}{k})e^{-\frac{x}{k}} （Weierstrass无穷乘积形式） Γ(x)=n→∞lim​x(x+1)(x+2)⋯(x+n−1)(x+n)nxn!​Γ(x)=x1​k=1∏∞​1+kx​(1+k1​)x​Γ(x)1​=xeγxk=1∏∞​(1+kx​)e−kx​（Weierstrass无穷乘积形式）

1.3 Gamma函数的性质

        Gamma 函数在数学分析中不断被深入研究，在概率论中也是无处不在，很多统计分布都和这个函数相关。常用性质：

1. 递推公式

   Γ ( x + 1 ) = Γ ( x ) Γ ( n + 1 2 ) = π 2 2 n ( 2 n ) ! n ! Γ ( x ) Γ ( 1 − x ) = π s i n ( π a ) Γ ( x + 1 2 ) = Γ ( 2 x ) Γ ( 1 2 ) Γ ( x ) 2 2 x − 1 \Gamma(x+1) = \Gamma(x) \\ \quad \\ \Gamma(n + \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt \pi}{2^{2n}} \frac{(2n)!}{n!} \\ \quad \\ \Gamma(x) \Gamma(1-x) = \frac{\pi}{sin(\pi a)} \\ \quad \\ \Gamma(x + \frac{1}{2}) = \frac{\Gamma(2x) \Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(x)2^{2x-1}} Γ(x+1)=Γ(x)Γ(n+21​)=22nπ

   ​​n!(2n)!​Γ(x)Γ(1−x)=sin(πa)π​Γ(x+21​)=Γ(x)22x−1Γ(2x)Γ(21​)​

        我们知道 0 ! = 1 0! = 1 0!=1， Γ ( 1 ) \Gamma(1) Γ(1)对此进行解释：

0 ! = Γ ( 1 ) = ∫ 0 ∞ u 1 − 1 e − u d u = ∫ 0 ∞ e − u d u = − e − u ∣ 0 ∞ = − e − ∞ + 1 = 1 0! = \Gamma(1) = \int_{0}^{\infty}u^{1-1}e^{-u}du = \int_{0}^{\infty}e^{-u}du = -e^{-u}|_{0}^{\infty} = -e^{-\infty} + 1 = 1 0!=Γ(1)=∫0∞​u1−1e−udu=∫0∞​e−udu=−e−u∣0∞​=−e−∞+1=1

        积分中常用的几个数值：

f ( x ) f(x) f(x)	∫ 0 + ∞ f ( x ) d x \int_{0}^{+\infty}f(x)dx ∫0+∞​f(x)dx	备注
x − 1 2 e − x x^{-\frac{1}{2}}e^{-x} x−21​e−x	π \sqrt \pi π ​	Γ ( 1 2 ) \Gamma(\frac{1}{2}) Γ(21​)
e − x e^{-x} e−x	1 1 1	Γ ( 1 ) \Gamma(1) Γ(1)
x 1 2 e − x x^{\frac{1}{2}}e^{-x} x21​e−x	π 2 \frac{\sqrt \pi}{2} 2π ​​	Γ ( 3 2 ) \Gamma(\frac{3}{2}) Γ(23​)
x e − x xe^{-x} xe−x	1 1 1	Γ ( 2 ) \Gamma(2) Γ(2)

        详细推导请参考：伽马函数常用积分数值

（1）欧拉常数 γ \gamma γ

γ = − d Γ ( x ) d x ∣ x = 1 = lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 n − l n ( n ) ) = lim ⁡ n → ∞ ∑ k = 1 n 1 k − l n n \gamma = - \frac{d\Gamma(x)}{dx} |_{x=1} = \lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} - ln (n)) \\ = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - ln n γ=−dxdΓ(x)​∣x=1​=n→∞lim​(1+21​+31​+⋯+n1​−ln(n))=n→∞lim​k=1∑n​k1​−lnn

（2）Digamma 函数

Ψ ( x ) = d l o g Γ ( x ) d x = Γ ′ ( x ) Γ ( x ) = − γ + ∫ 0 1 1 − x z − 1 1 − x d x \Psi(x) = \frac{dlog \Gamma(x)}{dx} = \frac{\Gamma^{'}(x)}{\Gamma(x)} = -\gamma + \int_{0}^{1} \frac{1 -x ^{z-1}}{1-x}dx Ψ(x)=dxdlogΓ(x)​=Γ(x)Γ′(x)​=−γ+∫01​1−x1−xz−1​dx

        这也是一个很重要的函数，在涉及求 Dirichlet 分布相关的参数的极大似然估计时，往往需要使用到这个函数。Digamma 函数具有如下漂亮的性质：

1. 递推公式

   Ψ ( x + 1 ) = Ψ ( x ) + 1 x \Psi(x+1) = \Psi(x) + \frac{1}{x} Ψ(x+1)=Ψ(x)+x1​

2. 反射公式

   ψ ( 1 − x ) = ψ ( x ) + π cot ⁡ π x \psi(1-x)=\psi(x)+\pi\cot\pi x ψ(1−x)=ψ(x)+πcotπx

3. 倍加公式

   ψ ( 2 x ) = 1 2 ψ ( x ) + 1 2 ψ ( x + 1 2 ) + ln ⁡ 2 \psi(2x)=\frac{1}{2}\psi(x)+\frac{1}{2}\psi\left(x+\frac{1}{2}\right)+\ln2 ψ(2x)=21​ψ(x)+21​ψ(x+21​)+ln2

        函数 Ψ ( x ) \Psi(x) Ψ(x) 和欧拉常数 γ \gamma γ 以及 ζ \zeta ζ 函数都有密切关系，令

Ψ n ( x ) = d n + 1 l o g Γ ( x ) d x n + 1 \Psi_n(x) = \frac{d^{n+1}{log \Gamma(x)}}{dx^{n+1}} Ψn​(x)=dxn+1dn+1logΓ(x)​

        则 Ψ 0 ( x ) = Ψ ( x ) \Psi_0(x) = \Psi(x) Ψ0​(x)=Ψ(x)，可以证明：

Ψ ( n ) = − γ + ∑ k = 1 n − 1 1 k ( n ∈ N ) Ψ ( x ) = − γ − ∑ k = 0 ∞ ( 1 x + k − 1 k + 1 ) ( x ∈ C ) Ψ ( 1 ) = − γ ， Ψ ( 2 ) = 1 − γ Ψ 1 ( 1 ) = ζ ( 2 ) = π 2 6 ， Ψ 2 ( 1 ) = = − 2 ζ ( 3 ) \Psi(n) = -\gamma + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} (n \in N)\\ \Psi(x) = -\gamma - \sum_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{x+k} - \frac{1}{k+1}) (x \in C) \\ \Psi(1) = -\gamma，\Psi(2) = 1 - \gamma \\ \Psi_1(1) = \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}，\Psi_2(1) = = -2 \zeta(3) Ψ(n)=−γ+k=1∑n−1​k1​(n∈N)Ψ(x)=−γ−k=0∑∞​(x+k1​−k+11​)(x∈C)Ψ(1)=−γ，Ψ(2)=1−γΨ1​(1)=ζ(2)=6π2​，Ψ2​(1)==−2ζ(3)

1.4 Gamma函数的应用

（1）利用伽马函数求导数

        我们原来只能定义一阶、二阶等整数阶导数，有了 Gamma 函数我们可以把函数导数的定义延拓到实数集，从而可以计算 1/2 阶导数, 同样的积分作为导数的逆运算也可以有分数阶。 我们先考虑一下 x n x^n xn 的各阶导数:

        由于 k 阶导数可以用阶乘表达，于是我们用 Gamma 函数表达为：

Γ ( n + 1 ) Γ ( n − k + 1 ) x n − k \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-k+1)}x^{n-k} Γ(n−k+1)Γ(n+1)​xn−k

        于是基于上式，我们可以把导数的阶从整数延拓到实数集。例如，取 n = 1 , k = 1 2 n=1, k = \frac{1}{2} n=1,k=21​ 我们可以计算 x x x 的 1 2 \frac{1}{2} 21​ 阶导数为:

Γ ( 1 + 1 ) Γ ( 1 − 1 / 2 + 1 ) x 1 − 1 / 2 = 2 x π \frac{\Gamma(1+1)}{\Gamma(1-1/2+1)}x^{1-1/2} = \frac{2 \sqrt x}{\sqrt \pi} Γ(1−1/2+1)Γ(1+1)​x1−1/2=π

​2x

​​

        对于一般的函数 f ( x ) f(x) f(x) 通过 Taylor 级数展开可以表达为幂级数，于是借用 x n x^n xn 的分数阶导数，我们可以尝试定义出任意函数的分数阶导数。不过有点遗憾的是这种定义方法并非良定义的，不是对所有函数都适用，但是这个思想却是被数学家广泛采纳了，并由此发展了数学分析中的一个研究课题：Fractional Calculus，在这种微积分中，分数阶的导数和积分都具有良定义，而这都依赖于 Gamma 函数。

（2）利用利用伽马函数简化级数

        当我们求不出一些级数，但是我们可以让它在不同的形式间转化，例如：

∑ k = 1 ∞ 1 k k = 1 + 1 2 2 + 1 3 3 + 1 4 4 + 1 5 5 + ⋯ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^k} = 1 + \frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^5} + \cdots k=1∑∞​kk1​=1+221​+331​+441​+551​+⋯

        根据 n ! = Γ ( n + 1 ) n! = \Gamma(n+1) n!=Γ(n+1) 对级数进行如下构造：

∑ k = 1 ∞ 1 k k = ∑ k = 1 ∞ Γ ( k ) ( k − 1 ) ! k k = ∑ k = 1 ∞ 1 ( k − 1 ) ! k k ∫ 0 ∞ x k − 1 e − x d x = ∑ k = 1 ∞ 1 ( k − 1 ) ! ∫ 0 ∞ ( x k ) k − 1 e − x d x k \sum_{k=1}^\infty{1\over k^k}=\sum_{k=1}^\infty{\Gamma(k)\over(k-1)!k^k}=\sum_{k=1}^\infty{1\over(k-1)!k^k}\int_0^\infty x^{k-1}e^{-x}\mathrm{d}x=\sum_{k=1}^\infty{1\over(k-1)!}\int_0^\infty\left(x\over k\right)^{k-1}e^{-x}{\mathrm{d}x\over k} k=1∑∞​kk1​=k=1∑∞​(k−1)!kkΓ(k)​=k=1∑∞​(k−1)!kk1​∫0∞​xk−1e−xdx=k=1∑∞​(k−1)!1​∫0∞​(kx​)k−1e−xkdx​

        令 t = x k t = \frac{x}{k} t=kx​，则 d t = d x k dt = \frac{dx}{k} dt=kdx​，于是得到变换后的级数表达式：

∑ k = 1 ∞ 1 k k = ∑ k = 1 ∞ 1 ( k − 1 ) ! ∫ 0 ∞ t k − 1 e − k t d t \sum_{k=1}^\infty{1\over k^k}=\sum_{k=1}^\infty{1\over(k-1)!}\int_0^\infty t^{k-1}e^{-kt}\mathrm{dt} k=1∑∞​kk1​=k=1∑∞​(k−1)!1​∫0∞​tk−1e−ktdt

        再用 u = e − t ⇒ t = − ln ⁡ ( u ) ⇒ d t = − d u u u=e^{-t}\Rightarrow t=-\ln(u)\Rightarrow\mathrm{dt}=-{\mathrm{d}u\over u} u=e−t⇒t=−ln(u)⇒dt=−udu​ 进行换元，得到：

∑ k = 1 ∞ 1 k k = ∑ k = 1 ∞ 1 ( k − 1 ) ! ∫ 0 1 ( − ln ⁡ ( u ) ) k − 1 u k d u u = ∫ 0 1 ∑ k = 1 ∞ ( − u ln ⁡ ( u ) ) k − 1 ( k − 1 ) ! d u \sum_{k=1}^\infty{1\over k^k}=\sum_{k=1}^\infty{1\over(k-1)!}\int_0^1(-\ln(u))^{k-1}u^k\mathrm{du\over u}=\int_0^1\sum_{k=1}^\infty{(-u\ln(u))^{k-1}\over(k-1)!}\mathrm{d}u k=1∑∞​kk1​=k=1∑∞​(k−1)!1​∫01​(−ln(u))k−1ukudu​=∫01​k=1∑∞​(k−1)!(−uln(u))k−1​du

        其中最后一项的求和号与积分号互换位置是通过控制收敛定理（Dominated convergence theorem）得到的。最后我们根据指数函数的麦克劳林展开 e x = ∑ n = 0 ∞ x k n ! e^x = \sum_{n =0}^{\infty}\frac{x^k}{n!} ex=∑n=0∞​n!xk​，将积分继续简化，得到：

∑ k = 1 ∞ 1 k k = ∫ 0 1 e − u ln ⁡ ( u ) d u = ∫ 0 1 u − u d u \sum_{k=1}^\infty{1\over k^k}=\int_0^1 e^{-u\ln(u)}\mathrm{d}u=\int_0^1u^{-u}\mathrm{d}u k=1∑∞​kk1​=∫01​e−uln(u)du=∫01​u−udu

        最终通过补 Gamma 函数将一个级数转化为了一个简短的定积分。

（3）欧拉余元公式（Euler’s reflection formula）

Γ ( x ) Γ ( 1 − x ) = x − 1 ∏ k = 1 ∞ ( 1 − x 2 k 2 ) − 1 Γ ( x ) Γ ( 1 − x ) = π s i n ( π x ) \Gamma(x)\Gamma(1-x) = x^{-1} \prod_{k=1}^{\infty}(1 - \frac{x^2}{k^2})^{-1}\\ \Gamma(x)\Gamma(1-x) = \frac{\pi}{sin(\pi x)} Γ(x)Γ(1−x)=x−1k=1∏∞​(1−k2x2​)−1Γ(x)Γ(1−x)=sin(πx)π​

（4）用Gamma函数美化 ζ ( s ) \zeta(s) ζ(s)

        黎曼函数的定义是： ζ ( s ) = ∑ k = 1 ∞ 1 k s \zeta(s) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^s} ζ(s)=k=1∑∞​ks1​

        将 ζ ( s ) \zeta(s) ζ(s) 和 Γ ( s ) \Gamma(s) Γ(s) 相乘可以得到：

ζ ( s ) Γ ( s ) = ∫ 0 ∞ t s − 1 e − t 1 − e − t d t \zeta(s) \Gamma(s) = \int_{0}^{\infty}\frac{t^{s-1} e^{-t}}{1- e^{-t}}dt ζ(s)Γ(s)=∫0∞​1−e−tts−1e−t​dt

（5）斯特林公式

        Gamma 函数作为阶乘的推广，它也有和 Stirling 公式类似的一个结论：

Γ ( x + 1 ) ≈ 2 π e − x x x + 1 2 \Gamma(x+1) \approx \sqrt{2 \pi}e^{-x}x^{x+\frac{1}{2}} Γ(x+1)≈2π

​e−xxx+21​

2 Beta函数

2.1 介绍

        贝塔函数具有很好的性质，以及实用的递推公式，另外，Gamma 函数和 Beta 函数之间存在好的关系。

2.2 推导

        欧拉在伽玛函数的推导中实际上引入了两类积分形式：

　 J ( a , n ) = ∫ 0 1 x a ( 1 − x ) n d x （ a > 0 ， n > 0 ） 　 S ( x ) = ∫ 0 ∞ u x e − u d u （ x > 0 ） J(a, n) = \int_{0}^{1}x^a(1-x)^ndx（a > 0，n>0）\\ 　S(x) = \int_{0}^{\infty}u^xe^{-u}du （x>0） J(a,n)=∫01​xa(1−x)ndx（a>0，n>0）　S(x)=∫0∞​uxe−udu（x>0）

        后来把这两个积分的参数做了-1的偏移，改为：

B ( α , β ) = ∫ 0 1 x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 d x （ α > 0 ， β > 0 ） Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ u x − 1 e − u d u （ x > 0 ） B(\alpha, \beta) = \int_{0}^{1}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx （\alpha>0，\beta >0）\\ \Gamma(x) = \int_{0}^{\infty}u^{x-1}e^{-u}du （x>0） B(α,β)=∫01​xα−1(1−x)β−1dx（α>0，β>0）Γ(x)=∫0∞​ux−1e−udu（x>0）

        由上面的推导可以得到 B ( α , β ) B(\alpha, \beta) B(α,β)的表达式，现在称为贝塔函数或贝塔积分。

        当 α < 1 \alpha < 1 α<1 时，是以 x = 0 x = 0 x=0 为瑕点的无界函数反常积分；当 β < 1 \beta < 1 β<1 时，是以 x = 1 x = 1 x=1 为瑕点的无界函数反常积分，应用柯西判别法可证得到 α > 0 ， β > 0 \alpha > 0，\beta > 0 α>0，β>0 时，这两个无界函数反常积分都收敛，所以贝塔函数的定义域为 α > 0 ， β > 0 \alpha > 0，\beta > 0 α>0，β>0。

        下面推导伽马函数与贝塔函数之间存在的关系：

        这里需要用到一个新的概念——卷积(Convolution)和拉普拉斯变换，对于卷积的物理意义，请参考：如何通俗易懂地解释卷积，由卷积定理可知：

L { ( f ∗ g ) ( t ) } = L { f ( t ) } ⋅ L { g ( t ) } \mathcal{L} \{(f \ast g)(t)\} = \mathcal{L} \{f(t)\} \cdot \mathcal{L}\{g(t)\} L{(f∗g)(t)}=L{f(t)}⋅L{g(t)}

        接下来研究一下幂函数拉普拉斯变换的性质（其中标注的地方进行了换元： τ = s t    ⟹    d τ = s d t \tau = st \implies d \tau = sdt τ=st⟹dτ=sdt）:

L { t a } = ∫ 0 ∞ t a e − s t d t = 1 s a + 1 ∫ 0 ∞ ( s t ) a e − ( s t ) ( s d t ) = 1 s a + 1 ∫ 0 ∞ τ ( a + 1 ) − 1 e − τ d τ ( ∗ ) = Γ ( a + 1 ) s a + 1 \mathcal{L} \{t^a\} = \int_{0}^{\infty}t^a e^{-st}dt \\ = \frac{1}{s^{a+1}} \int_{0}^{\infty}(st)^ae^{-(st)}(sdt) \\ = \frac{1}{s^{a+1}} \int_{0}^{\infty}\tau^{(a+1)-1}e^{-\tau} d \tau \quad (\ast) \\ = \frac{\Gamma(a+1)}{s^{a+1}} L{ta}=∫0∞​tae−stdt=sa+11​∫0∞​(st)ae−(st)(sdt)=sa+11​∫0∞​τ(a+1)−1e−τdτ(∗)=sa+1Γ(a+1)​

        由上面定义的Beta函数 B ( α , β ) = ∫ 0 1 x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 d x B(\alpha, \beta) = \int_{0}^{1}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx B(α,β)=∫01​xα−1(1−x)β−1dx，这个表达式看起来像两个幂函数的卷积，所以我们可以写出它的卷积表达式：

∫ 0 t x α − 1 ( t − x ) β − 1 d x = t α − 1 ∗ t β − 1 \int_{0}^{t}x^{\alpha-1}(t-x)^{\beta-1}dx = t^{\alpha-1} \ast t^{\beta-1} ∫0t​xα−1(t−x)β−1dx=tα−1∗tβ−1

        对该卷积进行拉普拉斯变换，可以得到：

L { t α − 1 ∗ t β − 1 } = L { t α − 1 } ⋅ L { t β − 1 } = Γ ( α ) Γ ( β ) s α + β = Γ ( α ) Γ ( β ) Γ ( α + β ) Γ ( α + β − 1 + 1 ) s ( α + β − 1 ) + 1 = Γ ( α ) Γ ( β ) Γ ( α + β ) L { t x + y − 1 } \mathcal{L} \{t^{\alpha-1} \ast t^{\beta-1}\} = \mathcal{L} \{t^{\alpha-1}\} \cdot \mathcal{L} \{t^{\beta-1}\} = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{s^{\alpha + \beta}} \\ = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma({\alpha + \beta}}) \frac{\Gamma(\alpha+ \beta-1 +1)}{s^{(\alpha + \beta-1) +1}} = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma({\alpha + \beta}}) \mathcal{L}\{ t^{x+y-1}\} L{tα−1∗tβ−1}=L{tα−1}⋅L{tβ−1}=sα+βΓ(α)Γ(β)​=Γ(α+βΓ(α)Γ(β)​)s(α+β−1)+1Γ(α+β−1+1)​=Γ(α+βΓ(α)Γ(β)​)L{tx+y−1}

        其中Beta函数正好是 t = 1 t=1 t=1 的情况，最后得到了用Gamma函数“美化”后的Beta函数表达式：

B ( α , β ) = Γ ( α ) Γ ( β ) Γ ( α + β ) B ( α , 1 − α ) = Γ ( α ) Γ ( 1 − α ) B(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)} \\ B(\alpha, 1-\alpha) = \Gamma(\alpha)\Gamma(1- \alpha) B(α,β)=Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)​B(α,1−α)=Γ(α)Γ(1−α)

2.3 性质

1. 对称性

   B ( α , β ) = B ( β , α ) B(\alpha, \beta) = B(\beta, \alpha) B(α,β)=B(β,α)

参考

1. Beta 函数和 Gamma 函数有什么用：https://www.zhihu.com/question/31407058/answer/51863214
2. 神奇的 Gamma 函数：https://cosx.org/2013/01/lda-math-gamma-function
3. 伽马函数：https://www.cnblogs.com/bigmonkey/p/12168500.html
4. 伽马函数：https://blog.csdn.net/qq_43141726/article/details/104943994
5. Gamma函数的应用：https://zhuanlan.zhihu.com/p/114595109
6. The gamma function：https://core.ac.uk/download/pdf/22874824.pdf
7. The digamma function：http://emmy.uprrp.edu/lmedina/papers/part10/Part10.pdf
8. The beta function：http://scientia.mat.utfsm.cl/archivos/vol16/ar2.pdf