傅里叶级数展开和傅里叶变换(一)

本文是DR_CAN的系列教学视频的学习笔记

一、三角函数的正交性

下列三角函数组具有正交性

S = { 0 , 1 , cos ⁡ ( x ) , sin ⁡ ( x )   cos ⁡ ( 2 x ) , sin ⁡ ( 2 x ) , . . . , cos ⁡ ( n x ) , sin ⁡ ( n x ) , . . . } S=\{0,1,\cos(x),\sin(x)\,\cos(2x),\sin(2x),...,\cos(nx),\sin(nx),...\} S={0,1,cos(x),sin(x)cos(2x),sin(2x),...,cos(nx),sin(nx),...}

具体表现为

∀ f ( x ) , g ( x ) ∈ S ∧ f ≠ g , ∫ − π π f ( x ) ⋅ g ( x ) d x = 0 \forall f(x),g(x)\in S \wedge f\neq g,\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cdot g(x)dx=0 ∀f(x),g(x)∈S∧f​=g,∫−ππ​f(x)⋅g(x)dx=0

证明如下：

1. 函数组内的不同函数正交

   函数组内的两不同函数求内积时有以下三种情况 ( m , n ∈ Z ) (m,n\in Z) (m,n∈Z)

∫ − π π cos ⁡ ( m x ) ⋅ cos ⁡ ( n x ) d x = ∫ − π π 1 2 [ cos ⁡ ( m + n ) x + cos ⁡ ( m − n ) x ] d x = 0   ( m ≠ n ) \int_{-\pi}^{\pi} \cos (m x) \cdot \cos (n x) d x=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2}[\cos (m+n) x+\cos (m-n) x] d x=0\,(m\neq n) ∫−ππ​cos(mx)⋅cos(nx)dx=∫−ππ​21​[cos(m+n)x+cos(m−n)x]dx=0(m​=n)

∫ − π π sin ⁡ ( m x ) ⋅ sin ⁡ ( n x ) d x = ∫ − π π − 1 2 [ cos ⁡ ( m + n ) x − cos ⁡ ( m − n ) x ] d x = 0   ( m ≠ n ) \int_{-\pi}^{\pi} \sin (m x) \cdot \sin (n x) d x=\int_{-\pi}^{\pi} -\frac{1}{2}[\cos (m+n) x-\cos (m-n) x] d x=0\,(m\neq n) ∫−ππ​sin(mx)⋅sin(nx)dx=∫−ππ​−21​[cos(m+n)x−cos(m−n)x]dx=0(m​=n)

∫ − π π cos ⁡ ( m x ) ⋅ sin ⁡ ( n x ) d x = ∫ − π π 1 2 [ sin ⁡ ( m + n ) x − sin ⁡ ( m − n ) x ] d x = 0 \int_{-\pi}^{\pi} \cos (m x) \cdot \sin (n x) d x=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2}[\sin (m+n) x-\sin (m-n) x] d x=0 ∫−ππ​cos(mx)⋅sin(nx)dx=∫−ππ​21​[sin(m+n)x−sin(m−n)x]dx=0

1. 函数组内同一函数内积

   当 m = 0 m=0 m=0时，

   ∫ − π π cos ⁡ 2 ( m x ) d x = 2 π ,   ∫ − π π sin ⁡ 2 ( m x ) d x = 0 \int_{-\pi}^{\pi}\cos^2(mx)dx=2\pi,\, \int_{-\pi}^{\pi}\sin^2(mx)dx=0 ∫−ππ​cos2(mx)dx=2π,∫−ππ​sin2(mx)dx=0

   当 m ≠ 0 m\neq0 m​=0时，

   ∫ − π π cos ⁡ ( m x ) ⋅ cos ⁡ ( m x ) d x = ∫ − π π 1 2 [ cos ⁡ ( 2 m x ) + 1 ] d x = π \int_{-\pi}^{\pi} \cos (m x) \cdot \cos (m x) d x=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2}[\cos (2mx)+1] d x=\pi ∫−ππ​cos(mx)⋅cos(mx)dx=∫−ππ​21​[cos(2mx)+1]dx=π

   ∫ − π π sin ⁡ ( m x ) sin ⁡ ( m x ) d x = ∫ − π π ( 1 − cos ⁡ 2 ( m x ) ) d x = π \int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(mx) dx=\int_{-\pi}^{\pi} (1-\cos^2(mx))dx=\pi ∫−ππ​sin(mx)sin(mx)dx=∫−ππ​(1−cos2(mx))dx=π

二、周期为 2 π 2\pi 2π的级数展开

考虑函数 f ( x ) = f ( x + 2 π ) f(x)=f(x+2\pi ) f(x)=f(x+2π),将函数写成如下形式

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n cos ⁡ ( n x ) + b n sin ⁡ ( n x ) f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n\cos (nx)+b_n\sin(nx) f(x)=n=0∑∞​an​cos(nx)+bn​sin(nx)

或是

f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ ( n x ) + b n sin ⁡ ( n x ) f(x)=\dfrac{a_0}2 +\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos (nx)+b_n\sin(nx) f(x)=2a0​​+n=1∑∞​an​cos(nx)+bn​sin(nx)

显然函数的周期仍然为 2 π 2\pi 2π.

现通过将 f ( x ) f(x) f(x)与正交函数组中的函数求内积的方法求出级数中的系数项，考虑展开式的后一种写法最终可以得到

a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ ( n x ) d x a_n=\dfrac{1}\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx an​=π1​∫−ππ​f(x)cos(nx)dx

b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ ( n x ) d x b_n=\dfrac{1}\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx bn​=π1​∫−ππ​f(x)sin(nx)dx

三、周期为2L的级数展开

周期为2L的函数主要通过坐标系变换得到其傅里叶级数展开。

对于函数 f ( t ) = f ( t + 2 L ) f(t)=f(t+2L) f(t)=f(t+2L)，令

x = π L ⋅ t x=\dfrac{\pi}{L}\cdot t x=Lπ​⋅t

并记

g ( x ) = g ( π L ⋅ t ) = f ( t ) g(x)=g(\dfrac{\pi}{L}\cdot t)=f(t) g(x)=g(Lπ​⋅t)=f(t)

于是有 g ( x + 2 π ) = g ( π L ⋅ t + 2 π ) = g ( π L ( t + 2 L ) ) = g ( x ) g(x+2\pi)=g(\dfrac{\pi}{L}\cdot t+2\pi)=g(\dfrac{\pi}{L}(t+2L))=g(x) g(x+2π)=g(Lπ​⋅t+2π)=g(Lπ​(t+2L))=g(x)，即 g ( x ) g(x) g(x)是一周期为 2 π 2\pi 2π的周期函数。

根据周期为 2 π 2\pi 2π的函数的傅里叶展开公式，可以得到 g ( x ) g(x) g(x)的各项系数为

g ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ ( n x ) + b n sin ⁡ ( n x ) g(x)=\dfrac{a_0}2 +\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos (nx)+b_n\sin(nx) g(x)=2a0​​+n=1∑∞​an​cos(nx)+bn​sin(nx)

a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ ( n x ) d x a_n=\dfrac{1}\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx an​=π1​∫−ππ​f(x)cos(nx)dx

b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ ( n x ) d x b_n=\dfrac{1}\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx bn​=π1​∫−ππ​f(x)sin(nx)dx

带入 x = π L ⋅ t x=\dfrac{\pi}{L}\cdot t x=Lπ​⋅t即有

f ( t ) = g ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ ( n π L ⋅ t ) + b n sin ⁡ ( n π L ⋅ t ) f(t)=g(x)=\dfrac{a_0}2 +\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos (\dfrac{n\pi}{L}\cdot t)+b_n\sin(\dfrac{n\pi}{L}\cdot t) f(t)=g(x)=2a0​​+n=1∑∞​an​cos(Lnπ​⋅t)+bn​sin(Lnπ​⋅t)

a n = 1 π ∫ − L L f ( x ) cos ⁡ ( n π L ⋅ t )   d ( π L ⋅ t ) = 1 L ∫ − L L f ( t ) cos ⁡ ( n π L ⋅ t ) d t a_n=\dfrac{1}\pi\int_{-L}^{L}f(x)\cos(\dfrac{n\pi}{L}\cdot t)\,d(\dfrac{\pi}{L}\cdot t)=\dfrac{1}L\int_{-L}^{L}f(t)\cos(\dfrac{n\pi}{L}\cdot t)dt an​=π1​∫−LL​f(x)cos(Lnπ​⋅t)d(Lπ​⋅t)=L1​∫−LL​f(t)cos(Lnπ​⋅t)dt

b n = 1 π ∫ − L L f ( x ) sin ⁡ ( n π L ⋅ t )   d ( π L ⋅ t ) = 1 L ∫ − L L f ( t ) sin ⁡ ( n π L ⋅ t ) d t b_n=\dfrac{1}\pi\int_{-L}^{L}f(x)\sin(\dfrac{n\pi}{L}\cdot t)\,d(\dfrac{\pi}{L}\cdot t)=\dfrac{1}L\int_{-L}^{L}f(t)\sin(\dfrac{n\pi}{L}\cdot t)dt bn​=π1​∫−LL​f(x)sin(Lnπ​⋅t)d(Lπ​⋅t)=L1​∫−LL​f(t)sin(Lnπ​⋅t)dt

由于工程上的时间并没有负值，因此记 T = 2 L T=2L T=2L为函数的周期，并记 ω = 2 π T \omega=\dfrac{2\pi}{T} ω=T2π​，函数即满足 f ( t ) = f ( t + T ) f(t)=f(t+T) f(t)=f(t+T). 此时函数的傅里叶展开为

f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ ( n ω t ) + b n sin ⁡ ( n ω t ) f(t)=\dfrac{a_0}2 +\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos (n\omega t)+b_n\sin(n\omega t) f(t)=2a0​​+n=1∑∞​an​cos(nωt)+bn​sin(nωt)

a n = ω π ∫ 0 T f ( t ) cos ⁡ ( n ω t ) d t a_n=\dfrac{\omega}\pi\int_{0}^{T}f(t)\cos(n\omega t)dt an​=πω​∫0T​f(t)cos(nωt)dt

b n = ω π ∫ 0 T f ( t ) sin ⁡ ( n ω t ) d t b_n=\dfrac{\omega}\pi\int_{0}^{T}f(t)\sin(n\omega t)dt bn​=πω​∫0T​f(t)sin(nωt)dt

四、傅里叶级数的复数形式

4.1 周期为 2 π 2\pi 2π的函数的傅里叶级数展开

这里要用到欧拉公式（欧拉方程，Euler’s formula）

e i θ = cos ⁡ ( θ ) + i sin ⁡ ( θ ) e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta) eiθ=cos(θ)+isin(θ)

于是可以得到

cos ⁡ ( θ ) = e i θ + e − i θ 2 ,   sin ⁡ ( θ ) = e i θ − e − i θ 2 i \cos(\theta)=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\, \sin(\theta)=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} cos(θ)=2eiθ+e−iθ​,sin(θ)=2ieiθ−e−iθ​

带入方程中有 f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ [ a n cos ⁡ ( n x ) + b n sin ⁡ ( n x ) ] = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n × e i n x + e − i n x 2 + b n × e i n x − e − i n x 2 i f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[ a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)]=\dfrac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\times\dfrac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}+b_n\times\dfrac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i} f(x)=2a0​​+n=1∑∞​[an​cos(nx)+bn​sin(nx)]=2a0​​+n=1∑∞​an​×2einx+e−inx​+bn​×2ieinx−e−inx​

整理可得

f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n − i b n 2 × e i n x + ∑ n = 1 ∞ a n + i b n 2 × e − i n x ‾ f(x)=\dfrac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_n-ib_n}2\times e^{inx}+\underline{\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_n+ib_n}2\times e^{-inx}} f(x)=2a0​​+n=1∑∞​2an​−ibn​​×einx+n=1∑∞​2an​+ibn​​×e−inx​

下划线中的部分用 − n → n -n\rightarrow n −n→n即有

∑ n = 1 ∞ a n + i b n 2 × e − i n x = ∑ n = − ∞ − 1 a − n + i b − n 2 × e i n x \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_n+ib_n}2\times e^{-inx}=\sum_{n=-\infty}^{-1}\dfrac{a_{-n}+ib_{-n}}2\times e^{inx} n=1∑∞​2an​+ibn​​×e−inx=n=−∞∑−1​2a−n​+ib−n​​×einx

根据前文的 a n 和 b n a_n和b_n an​和bn​的表达式易知 a − n = a n , b − n = − b n a_{-n}=a_{n},b_{-n}=-b_n a−n​=an​,b−n​=−bn​带入上式中即有

∑ n = 1 ∞ a n + i b n 2 × e − i n x = ∑ n = − ∞ − 1 a n − i b n 2 × e i n x \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_n+ib_n}2\times e^{-inx}=\sum_{n=-\infty}^{-1}\dfrac{a_{n}-ib_{n}}2\times e^{inx} n=1∑∞​2an​+ibn​​×e−inx=n=−∞∑−1​2an​−ibn​​×einx

另外 a 0 2 = a 0 + i b 0 2 × e − i 0 x \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{a_0+ib_0}2\times e^{-i0x} 2a0​​=2a0​+ib0​​×e−i0x

于是有

f ( x ) = ( a n − i b n 2 × e i n x ) n = 0 + ∑ n = 1 ∞ a n − i b n 2 × e i n x + ∑ n = − ∞ − 1 a n − i b n 2 × e i n x = ∑ a n − i b n 2 × e i n x f(x)=(\dfrac{a_{n}-ib_{n}}2\times e^{inx})_{n=0}+\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_n-ib_n}2\times e^{inx}+\sum_{n=-\infty}^{-1}\dfrac{a_{n}-ib_{n}}2\times e^{inx}=\sum \dfrac{a_n-ib_n}2\times e^{inx} f(x)=(2an​−ibn​​×einx)n=0​+n=1∑∞​2an​−ibn​​×einx+n=−∞∑−1​2an​−ibn​​×einx=∑2an​−ibn​​×einx

记 c n = a n − i b n 2 = 1 2 π [ ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ ( n x ) d x − i ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ ( n x ) d x ] = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) [ cos ⁡ ( n x ) − i sin ⁡ ( x ) ] d x = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) e − i n x d x c_n= \dfrac{a_n-ib_n}2=\dfrac1{2\pi}[\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx-i\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx]=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)[\cos(nx)-i\sin(x)]dx=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx cn​=2an​−ibn​​=2π1​[∫−ππ​f(x)cos(nx)dx−i∫−ππ​f(x)sin(nx)dx]=2π1​∫−ππ​f(x)[cos(nx)−isin(x)]dx=2π1​∫−ππ​f(x)e−inxdx得到

f ( x ) = ∑ c n × e i n x   , c n = a n − i b n 2 {f(x)=\sum c_n\times e^{inx}} \, ,c_n= \dfrac{a_n-ib_n}2 f(x)=∑cn​×einx,cn​=2an​−ibn​​

上式即周期为 2 π 2\pi 2π时的傅里叶级数的复数形式。

值得注意的是，对于实数范围内的函数， c n c_n cn​与 c − n c_{-n} c−n​是共轭的。

取 f ( x ) f(x) f(x)展开式中当的 ± n \pm n ±n项求和为实数即可证明二者是共轭。

4.2 周期为 2 L 2L 2L的函数的傅里叶级数的复数形式

周期为 2 L 2L 2L的函数计算过程与周期为 2 π 2\pi 2π时的计算过程大致相同，其具体形式为

f ( t ) = f ( t + T ) = ∑ c n e i n ω t   , c n = 1 L ∫ 0 L f ( x ) e − i n w x d x f(t)=f(t+T)=\sum c_ne^{in\omega t}\, , c_n=\dfrac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)e^{-inwx}dx f(t)=f(t+T)=∑cn​einωt,cn​=L1​∫0L​f(x)e−inwxdx

a n 和 b n a_n和b_n an​和bn​的表达式前文已经提及.

五、傅里叶变换

对于非周期函数，可以将其理解成周期为 ∞ \infty ∞的周期函数，此时 T → ∞ , w = 2 π T → 0 T\rightarrow\infty,w=\dfrac{2\pi}{T}\rightarrow 0 T→∞,w=T2π​→0.

f ( t ) = lim ⁡ T → ∞ f T ( t ) = lim ⁡ ω → 0 ∑ − ∞ ∞ 1 T ∫ 0 T f T ( t ) e − i n ω t d t ⋅ e i n ω t = lim ⁡ ω → 0 ∑ − ∞ ∞ ω 2 π ∫ 0 T f T ( t ) e − i n w t d t ⋅ e i n ω t \begin{aligned} f(t)=\lim_{T\rightarrow\infty}f_{T}(t) &=\lim_{\omega\rightarrow 0}\sum_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f_{T}(t) e^{-i n \omega t} d t \cdot e^{i n \omega t} \\ &=\lim_{\omega\rightarrow 0}\sum_{-\infty}^{\infty} \frac{\omega}{2 \pi} \int_{0}^{T} f_{T}(t) e^{-i n w t} d t \cdot e^{i n \omega t} \end{aligned} f(t)=T→∞lim​fT​(t)​=ω→0lim​−∞∑∞​T1​∫0T​fT​(t)e−inωtdt⋅einωt=ω→0lim​−∞∑∞​2πω​∫0T​fT​(t)e−inwtdt⋅einωt​

注意到 ω = ( n + 1 ) ω − n ω = Δ ω \omega=(n+1)\omega-n\omega=\Delta \omega ω=(n+1)ω−nω=Δω，上式可以继续化简为

f ( t ) = lim ⁡ T → ∞ f T ( T ) = lim ⁡ ω → 0 ∑ − ∞ + ∞ Δ ω 2 π ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i n ω t d t ⋅ e i n ω t = ∫ − ∞ + ∞ d ω 2 π ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i ω t d t ⋅ e i ω t = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i ω t d t ⋅ e i ω t d ω \begin{aligned} f(t)=\lim _{T \rightarrow \infty} f_{T} (T) &=\lim _{\omega \rightarrow 0} \sum_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta \omega}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+ \infty} f(t) e^{-i n \omega t } d t \cdot e^{i n \omega t} \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d\omega}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega t } d t \cdot e^{i \omega t} \\ &=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega t} d t \cdot e^{i \omega t} d \omega \end{aligned} f(t)=T→∞lim​fT​(T)​=ω→0lim​−∞∑+∞​2πΔω​∫−∞+∞​f(t)e−inωtdt⋅einωt=∫−∞+∞​2πdω​∫−∞+∞​f(t)e−iωtdt⋅eiωt=2π1​∫−∞+∞​∫−∞+∞​f(t)e−iωtdt⋅eiωtdω​

记 F ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ω t d t F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt F(ω)=∫−∞∞​f(t)e−iωtdt为 f ( t ) f(t) f(t)的傅里叶变换，带入上式得到 f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e i ω t d ω f(t)=\dfrac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega f(t)=2π1​∫−∞∞​F(ω)eiωtdω即为傅里叶变换的逆变换。