集合论(2):映射

文章目录

• 集合论(2):映射
• • 一.函数 、映射
  • • 1.映射与函数的关系
    • • (1)定义
      • (2)基本术语
    • 2.映射与笛卡尔积
    • • (1)定义
    • 3.限制
    • • 定义
    • 4.特殊映射
    • • ①单射
      • • 定义：
      • ②满射
      • • 定义：
      • ③双射（一一对应）
      • • 定义
      • ④恒等映射
      • • 定义
      • ⑤部分映射
      • • 定义
      • ⑥特殊映射的一些定理
      • • 定理：
        • 定理：
      • ⑦映射集
      • • 定义
        • 性质
        • • （1）
          • （2）
    • 5.映射的一般性质
    • • ①映射的扩展
      • • 性质
      • ②原象的扩展
      • ③ 设 f : X → Y , C ⊆ Y , D ⊆ Y f:X\rightarrow Y,C\subseteq Y,D\subseteq Y f:X→Y,C⊆Y,D⊆Y,则：
      • ④设 f : X → Y , A ⊆ X , B ⊆ X f:X\rightarrow Y,A\subseteq X,B\subseteq X f:X→Y,A⊆X,B⊆X,则：
  • 二.抽屉原理
  • • 1.抽屉原理
    • 2.推广形式之一
  • 三.映射的合成
  • • 1.定义
    • 2.性质
    • • ①
      • ②
      • ③
      • ④ ：③的反推
      • ⑤X→ X
  • 四.逆映射
  • • 1.定义（逆映射）
    • 2.定义（左右逆映射）
    • 3.定理（可逆充要条件）
    • 4.定理（逆映射相关）
  • 五.集合的特征函数
  • • 1.集合和函数的对应关系
    • 2.集合的性质与集合的特征函数的对应关系
    • • ①定义（特征函数）
      • ②定义（特征函数的集合）

一.函数 、映射

1.映射与函数的关系

(1)定义

设 X X X 与 Y Y Y是两个非空集合，若根据某一法则 f f f，使X中每一个元素 x x x，使 X X X中的每一元素 x x x总有 Y Y Y中的唯一确定的元素 y y y与之对应，则称 f f f是集合 X X X到集合 Y Y Y的映射。

若** X X X 与 Y Y Y是两个数集，就是函数的定义**

(2)基本术语

“ f f f是 X X X到 Y Y Y的映射”常记为 f ： X → Y f：X\rightarrow Y f：X→Y

设 x x x对应 y y y，常称作 x x x在 f f f下的象为 y y y，常记作 f ( x ) f(x) f(x)， x x x是 y y y的原象

X X X称为 f f f的定义域. 集合 { f ( x ) ∣ x ∈ X } \{f(x)|x\in X\} {f(x)∣x∈X}称为 f f f的值域或象，记为 I m ( f ) I_m(f) Im​(f)

2.映射与笛卡尔积

(1)定义

设 X X X 和 Y Y Y是两个非空集合，一个从 X X X到 Y Y Y的映射是一个满足以下两个条件的 X × Y X\times Y X×Y 的子集 f f f：

(1) 对 X X X的每一个元素 x x x, 存在一个 y ∈ Y y\in Y y∈Y, 使得

( x , y ) ∈ f (x,y)\in f (x,y)∈f;

(2) 若 ( x , y ) , ( x , y ′ ) ∈ f (x,y),(x,y')\in f (x,y),(x,y′)∈f, 则 y = y ′ y=y' y=y′

3.限制

定义

​ 设 f : X → Y , A ⊆ X , f:X\rightarrow Y,A\subseteq X, f:X→Y,A⊆X, 当把 f f f的定义域限制在 A A A上时, , 就得到了一个: φ : A → Y , ∀ x ∈ A , φ ( x ) = f ( x ) , φ \varphi:A\rightarrow Y,\forall x\in A,\varphi (x)=f(x),\varphi φ:A→Y,∀x∈A,φ(x)=f(x),φ被称为 f f f在A上的限制，且常用 f ∣ A f|A f∣A来代替 φ \varphi φ，反过来，我们说 f f f是 φ \varphi φ在 X X X上的扩张。

4.特殊映射

①单射

定义：

设 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y,如果 ∀ x , x ′ ∈ X \forall x,x'\in X ∀x,x′∈X,只要 x ≠ x ′ x \ne x' x​=x′，就有 f ( x ) ≠ f ′ ( x ) f(x)\ne f'(x) f(x)​=f′(x),则称f为从X到Y的单射

②满射

定义：

设 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y,如果 ∀ y ∈ Y \forall y\in Y ∀y∈Y, ∃ x ∈ X \exists x\in X ∃x∈X,使得 f ( x ) = y f(x)=y f(x)=y则称 f f f为从 X X X到 Y Y Y的满射

③双射（一一对应）

定义

设 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y,若 f f f既是单射又是漫射，则 f f f是双射或称为一一对应，也称 X X X与 Y Y Y对等，记为 X ∼ Y X\sim Y X∼Y

④恒等映射

定义

设 f : X → X f:X\rightarrow X f:X→X,如果 ∀ x ∈ X , f ( x ) = x \forall x\in X,f(x)=x ∀x∈X,f(x)=x,则称 f f f为 X X X上的恒等映射。 X X X上的恒等映射常记为 I x I_x Ix​或者 l x l_x lx​

X X X上的恒等映射只有一个，恒等映射是双射

⑤部分映射

定义

设 f : A → Y , A ⊆ X , f:A\rightarrow Y,A\subseteq X, f:A→Y,A⊆X,则 f f f是 X X X上的一个部分映射

⑥特殊映射的一些定理

定理：

​ 设 A A A和 B B B为有限集， f : A → B f:A\rightarrow B f:A→B

(1) 如果 f f f是满射的，则 ∣ A ∣ ≥ ∣ B ∣ |A|\geq |B| ∣A∣≥∣B∣；

(2) 如果 f f f是单射，则 ∣ A ∣ ≤ ∣ B ∣ |A|\leq |B| ∣A∣≤∣B∣；

定理：

设 A A A和 B B B是有限集， ∣ A ∣ = ∣ B ∣ |A|=|B| ∣A∣=∣B∣，则 f : A → B f:A\rightarrow B f:A→B是单射    ⟺    \iff ⟺ f f f是满射

⑦映射集

定义

从 X X X到 Y Y Y的所有映射之集记为 Y X Y^X YX ，即: Y X = { f ∣ f : X → Y } Y^X=\{f|f:X \rightarrow Y\} YX={f∣f:X→Y}

性质

（1）

设 X , Y X,Y X,Y均为有穷集合, ∣ X ∣ = n , ∣ Y ∣ = m , |X|=n,|Y|=m, ∣X∣=n,∣Y∣=m,且 n ≥ 1 , m ≥ 1 n≥1,m≥1 n≥1,m≥1, 则 ∣ Y X ∣ = m n |Y^X |=m^n ∣YX∣=mn

（2）

设 X X X为有穷集合, , ∣ X ∣ = n |X|=n ∣X∣=n, 且 n ≥ 1 n\geq 1 n≥1,则从 X X X到 X X X共有 n ！ n！ n！个双射

5.映射的一般性质

①映射的扩展

若 A ⊆ X A\subseteq X A⊆X ,那么由 f f f和 A A A就唯一地确定了 Y Y Y的一个子集, 记为 f ( A ) f(A) f(A): f ( A ) = { f ( x ) ∣ x ∈ A } f(A)=\{f(x)|x\in A \} f(A)={f(x)∣x∈A}

f ( A ) f(A) f(A)称为 A A A在 f f f下的象，利用此法，由 f f f就确定了一个从 2 X 2^X 2X到 2 Y 2^Y 2Y的映射，习惯上此映射仍记为 f f f

f ( ∅ ) = ∅ , f ( X ) = I m f f(\empty)=\empty,f(X)=I_mf f(∅)=∅,f(X)=Im​f

性质

（1） f f f是 X X X到 Y Y Y 的满射当且仅当 f ( X ) = Y f(X)=Y f(X)=Y

（2）如果 A ⊆ B ⊆ X A\subseteq B\subseteq X A⊆B⊆X，则 f ( A ) ⊆ f ( B ) f(A)\subseteq f(B) f(A)⊆f(B)

②原象的扩展

若 B ⊆ Y B\subseteq Y B⊆Y ,那么由 f f f和 B B B就唯一地确定了 X X X的一个子集, 记为 f − 1 ( B ) f^{-1}(B) f−1(B): f − 1 ( B ) = { x ∣ f ( x ) ∈ B , x ∈ X } f^{-1}(B)=\{x|f(x)\in B,x\in X \} f−1(B)={x∣f(x)∈B,x∈X}

f − 1 ( B ) f^{-1}(B) f−1(B)称为在 f f f下 B B B的原象， f − 1 ( B ) f ^{-1}(B) f−1(B) 是 X X X中在 f f f下的象落在 B B B里的那些元素组成的

利用此法，由 f f f就确定了一个从 2 Y 2^Y 2Y到 2 X 2^X 2X的映射，记为 f − 1 f^{-1} f−1

③ 设 f : X → Y , C ⊆ Y , D ⊆ Y f:X\rightarrow Y,C\subseteq Y,D\subseteq Y f:X→Y,C⊆Y,D⊆Y,则：

（1） f − 1 ( C ∪ D ) = f − 1 ( C ) ∪ f − 1 ( D ) f^{-1}(C\cup D)=f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D) f−1(C∪D)=f−1(C)∪f−1(D)

（2） f − 1 ( C ∩ D ) = f − 1 ( C ) ∩ f − 1 ( D ) f^{-1}(C\cap D)=f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D) f−1(C∩D)=f−1(C)∩f−1(D)

（3） f − 1 ( C Δ D ) = f − 1 ( C ) Δ f − 1 ( D ) f^{-1}(C\Delta D)=f^{-1}(C)\Delta f^{-1}(D) f−1(CΔD)=f−1(C)Δf−1(D)

（4） f − 1 ( C c ) = ( f − 1 ( C ) ) c f^{-1}(C^ c)=(f^{-1}(C))^c f−1(Cc)=(f−1(C))c

④设 f : X → Y , A ⊆ X , B ⊆ X f:X\rightarrow Y,A\subseteq X,B\subseteq X f:X→Y,A⊆X,B⊆X,则：

(1) f ( A ∪ B ) = f ( A ) ∪ f ( B ) f(A\cup B)=f(A)\cup f(B) f(A∪B)=f(A)∪f(B)

(2) f ( A ∩ B ) ⊆ f ( A ) ∩ f ( B ) f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B) f(A∩B)⊆f(A)∩f(B)

(3) f ( A Δ B ) ⊇ f ( A ) Δ f ( B ) f(A\Delta B)\supseteq f(A)\Delta f(B) f(AΔB)⊇f(A)Δf(B)

二.抽屉原理

1.抽屉原理

如果把 n + 1 n+1 n+1个物体放到 n n n抽屉里，则必有一个抽屉里至少放了两个物体。

2.推广形式之一

设 k k k和 n n n都是任意的正整数，若至少有 k n + 1 kn+1 kn+1只鸽子分配在 n n n个鸽巢里，则至少存在一个鸽巢中有不少于 k + 1 k+1 k+1只鸽子

三.映射的合成

1.定义

设 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y, g : Y → Z g:Y\rightarrow Z g:Y→Z，一个从 X X X到 Z Z Z的映射 h h h称为 f f f与 g g g的合成,如果 ∀ x ∈ X , h ( x ) = g ( f ( x ) ) ∀ x ∈ X , h ( x ) = g ( f ( x ) ) , ∀ x ∈ X , h ( x ) = g ( f ( x ) ) ∀x∈X,h(x)=g(f(x)) \forall x \in X,h(x) = g(f(x)),∀x∈X,h(x)=g(f(x)) ∀x∈X,h(x)=g(f(x))∀x∈X,h(x)=g(f(x)),∀x∈X,h(x)=g(f(x))."映射f与g的合成"h记作 g ∘ f g\circ f g∘f,或者 g f gf gf.

2.性质

①

设 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y, g : Y → Z ， h : X → W g:Y\rightarrow Z，h:X\rightarrow W g:Y→Z，h:X→W,则: h ( g f ) = ( h g ) f h(gf)=(hg)f h(gf)=(hg)f

②

设 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y,则 f I X = I Y f fI_X=I_Yf fIX​=IY​f

③

f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y, g : Y → Z g:Y\rightarrow Z g:Y→Z，则

（1）若f与g都是单射的，则gf也是单射的

（2）若f与g都是满射的，则gf也是满射的

（3）若f与g都是双射的，则gf也是双射的

④ ：③的反推

（1）若gf是单射的，则f是单射的

（2）若gf是满射的，则g是满射的

（3）若gf是双射的，则f是单射的且g是满射的

⑤X→ X

设f与g都是X 到X的映射,则 I m ( f ) ⊆ I m ( g ) I_m(f)\subseteq I_m(g) Im​(f)⊆Im​(g)充要条件为 ∃ h : X → X \exists h:X\rightarrow X ∃h:X→X使得 f = g h f = gh f=gh.

四.逆映射

1.定义（逆映射）

设 f : X → Y f : X → Y f:X→Y如果存在一个映射 g : Y → X g : Y → X g:Y→X使得 f g = I Y , 且 g f = I X fg=I_Y,且gf=I_X fg=IY​,且gf=IX​，则称映射f是可逆的，而g称为f的逆映射

2.定义（左右逆映射）

设 f : X → Y f : X → Y f:X→Y如果存在一个映射 g : Y → X g : Y → X g:Y→X使得 g f = I X gf=I_X gf=IX​，则称映射f是左可逆的，g称为f的左逆映射

设 f : X → Y f : X → Y f:X→Y如果存在一个映射 h : Y → X h : Y → X h:Y→X使得 f h = I Y fh=I_Y fh=IY​，则称映射f是右可逆的，h称为f的右逆映射

3.定理（可逆充要条件）

设 f : X → Y f : X → Y f:X→Y，则 f f f是可逆的充分必要条件是 f f f为双射的

4.定理（逆映射相关）

（1）设 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y, 则如果 f f f是可逆的, 则 f f f的逆映射是唯一的。 f f f的逆记作 f − 1 f^{-1} f−1

（2）设 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y, g : Y → Z g:Y\rightarrow Z g:Y→Z,都是可逆的，则 g f gf gf也可逆且 ( g f ) − 1 = f − 1 g − 1 , ( f − 1 ) − 1 = f (gf)^{-1}=f^{-1}g^{-1},(f^{-1})^{-1}=f (gf)−1=f−1g−1,(f−1)−1=f

（3）设 X → Y X\rightarrow Y X→Y,则：

​ f左可逆的充分必要条件是f 为单射；

​ f右可逆的充分必要条件是f 为满射

五.集合的特征函数

1.集合和函数的对应关系

一个子集唯一确定一个函数，反过来，一个这样的函数也唯一确定一个子集

2.集合的性质与集合的特征函数的对应关系

①定义（特征函数）

设 X X X是一个集合， E ⊆ X E\subseteq X E⊆X 。从 X X X到

{0,1} 的如下的一个映射 χ E \chi_E χE​称为 E E E的特征函数:

∀ x ∈ X , χ E ( x ) = { 1 , 如 果 x ∈ E 0 , 如 果 x ∉ E \forall x\in X , \chi_E(x)=\left\{\begin{matrix}1,如果x\in E \\0,如果x\notin E\end{matrix}\right. ∀x∈X,χE​(x)={1,如果x∈E0,如果x∈/​E​

集合E和特征函数 χ E \chi_E χE​之间互相唯一确定

②定义（特征函数的集合）

C h ( X ) = { χ ∣ χ : X → { 0 , 1 } } Ch(X)=\{\chi|\chi:X\rightarrow\{0,1\}\} Ch(X)={χ∣χ:X→{0,1}}

C h ( X ) Ch(X) Ch(X)是 X X X中所有子集构成的特征函数的集合， C h ( X ) Ch(X) Ch(X)与 X X X的幂集 2 X 2^X 2X存在一一对应