floyd算法详解

一、floyd算法求任意两点之间的最短路（实质上是动态规划）：

      算法原理：i、j 两点间的最短路径只有两种情况：直接从 i 到 j 或者通过中转点。

                       设map[i][j][k]表示从 i 到 j ，以 0—— k 号点作为中转点所能得到的最大值。以 0 作为中转点就表示 i 直接到j，不通过其他点中转点；可以从1到k号点钟选取若干点作为中转点，也可以直接不选取任何点作为中转点。

                       那么状态转移方程如下：

                       map[i][j][k]=min{map[i][j][k],map[i][k][k-1]+map[k][j][k-1]}

                       （看了这个递推式，或许也明白为什么floyd三重循环要将 k 放在最外面了吧）

      具体代码实现：  

<span style="font-size:18px;">初始map[i][j][0]为边(i,j)的值，若i与j不连通，则初始值按题意确定。
      for(k=1;k<=n;k++)
        for(i=1;i<=n;i++)
           for(j=1;j<=n;j++)
              map[i][j][k]=min(map[i][j][k],map[i][k][k-1]+map[k][j][k-1]);</span>
           

      观察上述代码，我们发现有几点可以改进的地方：

      1.对于map数组，我们可以省略 k ，只用一个二维数组即可，即：map[i][j]

      2.若 i 与 k 相同，后面就没必要枚举了，因为 i 如果与 k 相同，那么就变成不通过中转点的情况了，而这种情况在初始时就已经处理过了。

      3.若是求最短路，那么 i 与 j 不相连通时，我们一般都将其权值赋值为一个极大值，map[i][k]+map[k][j]就有可能超过数据范围，继而变成一个负数，这样就出错了，解决办法就是将上述的加法变成减法。

      最终代码：

<span style="font-size:18px;">初始map[i][j]的值为边(i,j)的值，若边(i,j)不存在，
则按照题意进行赋值，比如求最短路时，就赋值为一个极大值

for(k=-1;k<=n;k++)
  for(i=1;i<=n;i++)if(i!=k)
    for(j=1;j<=n;j++)if(j!=i && j!=k)
      if(map[i][j]-map[i][k]>map[k][j])
        map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];
	</span>
           

二、floyd求任意两点间的最短路径并输出：

       设w[i][j]记录 i 与 j 是否有边相连，d[i][j]=k，表示从 i 到 j 的最短路径，i 的下一个点为 k，则有：   

<span style="font-size:18px;">初始map[i][j]的值为边(i,j)的值，若边(i,j)不存在，
则按照题意进行赋值，比如求最短路时，就赋值为一个极大值
若边(i,j)存在，则初始p[i][j]的值为j,否则就为-1 

for(k=-1;k<=n;k++)
  for(i=1;i<=n;i++)if(i!=k)
    for(j=1;j<=n;j++)if(j!=i && j!=k)
      if(map[i][j]-map[i][k]>=map[k][j])
        { 
          map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];
	  if(w[i][k])d[i][j]=k; 
		} 
 
 </span>
           

      接下来，若要输出(i,j)的最短路径，直接输出 i ，然后输出 k1=d[i][j]，然后输出 k2=d[k1][j]，以此内推。      

三、floyd寻找环：

       用w[i][j]记录边(i,j)的值，假设存在一个如下的环：

                      map[i][j][k-1]

           i     ————————  j

             ↘                           ↙

                  ↘                 ↙

                       ↘       ↙

                             k

       若map[i][j][k-1]==w[i][j]+w[k][j]，则存在一个环。

       对于求环的算法，要灵活使用，比如求最大环，最小环，环的最大、最小权值等等。

       鉴于此，这里就不给出代码了，相关例题可以去我的博客查找，我的每篇文章后面都是注明了使用算法以及求解问题的，找起来还是比较方便（当然，没有的话，额。。。。，那就这样吧）