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泰勒级数
傅里叶级数
欧拉公式
傅里叶变换
在了解傅里叶之前，首先来认识一下泰勒展开，他与傅里叶级数有着相似的形式。
泰勒级数
高数中的泰勒展开要表达的含义是：初等函数可以通过多项式函数拟合。举个栗子（
在x=0处的泰勒级数表示方法）：
于是对于函数f(x), 在
处展开的级数可以表示为（f(x)要满足的具体条件不在此阐述）:
关于泰勒级数的推导，这里不做详细展开了。
傅里叶级数
傅里叶级数这个公式极其优美而强大，它的出现让我们用不一样的方式去看待世界。
傅里叶级数利用正弦函数多项式来表示某一个具体的周期函数，正如下图所示，黑色线条y=y1+y2+y3，y是周期函数，它可以由绿红蓝三个正弦函数叠加而成。
下面，我们正式引入傅里叶级数的公式，对于任意的周期函数
,假定周期为2
，有：
那么怎么确定其中的参数
的值就变得至关重要了。
在求这些值之前，先引入三角函数系中的正交基：1， cosnx， sinnx，其中n=1, 2, 3 ....。在线性代数中，正交是指 ab = 0，而在函数中，规定了当两个函数乘积的积分为零时，函数正交，对于三角函数系，有：
于是对于f(x)在
求积分，
因此
对之前等式的左右两边乘以cosnx，再在
上求积分，可以得到：
同理，左右同乘sinnx， 再在
上求积分，可以得到:
深入理解傅里叶变换--FT
至此，傅里叶级数中各项系数的求解基本已经解决了（没有写的特别仔细TuT，第一次编辑这么多公式，然后有些公式对不齐，Latex编辑还不是很顺手）。
欧拉公式
在进一步深入到傅里叶变换之前，可以先了解一下欧拉公式（这个可以用泰勒公式推导）。
此公式可以利用对
以及
进行泰勒级数展开，求出来
会发现它就是
的泰勒级数展开式。当然，还有更加形象的推理，在此处我强推B站一位up主 对于欧拉公式的解释，看到就是赚到。
傅里叶变换
根据上述的欧拉公式，我们可以得到一下两个变换， 即:
傅里叶级数公式提过来，方便对照(这里讨论更一般的f(x),即设定周期为2
)：
将
以及
带入傅里叶级数，得：
化简得：
此处，我们注意到，n从1变到
的过程中，
与
是对称的，此时，为了进一步简化上式，作如下变换：
从而，我们考虑n从
变化到
，将公式进一步化简：
再把公式提过来，方便对照：
从而求
的公式可以总结如下,参考了视频傅里叶推导：
综上，
接下来，贴张图，公式打得太累了（来自上面的那个链接）
再进一步变换，可以得到：
于是乎，我们的傅里叶变换与逆变换公式分别为上图的
与
。