线性代数拾遗（1）—— 行列式的三种公理化构造

• 在前文 线性代数（1）—— 行列式中，我们已经对行列式有了比较直观的理解。
  1. 行列式最初用于表示线性方程组的系数，其值可以用于判别齐次线性方程组的解情况，也可以用于计算一般线性方程组的通解
  2. 可以从几何角度直观地表示行列式
  3. 从几何和代数两个角度，都可以得出行列式的若干性质
• 下面我们首先补充一些离散数学中的概念，然后给出行列式的三种正统定义方式

文章目录

• 0. 符号规定和补充内容
• • 0.1 群相关内容
  • • 0.1.1 补充定义
    • 0.1.2 补充定理
  • 0.2 符号说明
• 1. 第二公理化构造
• • 1.1 从线性方程入手
  • 1.2 一个猜测
  • 1.3 行列式的第二公理化构造
• 2. 第一公理化构造
• • 2.1 行列式的第一公理化构造
  • 2.2 从第二公理化构造到第一公理化构造
  • 2.3 行列式的解析展开式与逆序数定义
• 3. 第三公理化构造
• • 3.1 余子式
  • 3.2 行列式按某行（列）展开公式

0. 符号规定和补充内容

0.1 群相关内容

0.1.1 补充定义

1. 群

   ： < G , o > <G,o> <G,o>是含有一个二元运算的代数系统，若满足以下条件，则称G是一个群
   1. o运算满足结合律
   2. 存在 e ∈ G e∈G e∈G 是关于 o o o 运算的单位元
   3. 任何 x ∈ G x∈G x∈G， x x x关于 o o o 运算的逆元 x − 1 ∈ G x^{-1}∈G x−1∈G

2. 变换

   和

   一一变换

   ：设A是非空集合， f : A → A f:A \to A f:A→A 称为A上的一个变换。若 f f f 是双射的，则称 f f f 为A上的一个一一变换

3. 变换的乘法

   ：设 f , g f,g f,g是 A A A上的两个变换，则 f , g f,g f,g的函数合成（即先按 f f f变换，再按 g g g变换）称为 f f f与 g g g的乘积，记为 f g fg fg

4. 一一变换群

   ：设 E ( A ) E(A) E(A) 是 A A A上全体一一变换构成的集合，则 E ( A ) E(A) E(A) 关于变换的乘法构成一个群，称为 A A A的一一变换群

5. n元置换(σ)

   ：当 A A A是有穷集合时， A A A上的一一变换称为 A A A上的

   置换

   。当 ∣ A ∣ = n |A|=n ∣A∣=n时称 A A A上的变换为n元置换。为了叙述方便，常将 A A A记作 { 1 , 2 , . . . , n } \{1,2,...,n\} {1,2,...,n}，于是可以将 A A A上的n元置换 σ \sigma σ记作

   σ = ( 1 2 … n σ ( 1 ) σ ( 2 ) σ ( n ) ) \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n \\ \sigma (1) & \sigma(2) & & \sigma (n) \end{pmatrix} σ=(1σ(1)​2σ(2)​…​nσ(n)​)

   易见， s i g m a ( 1 ) , s i g m a ( 2 ) , . . . , s i g m a ( n ) sigma (1),sigma (2),...,sigma (n) sigma(1),sigma(2),...,sigma(n)恰为 1 , 2 , . . . , n 1,2,...,n 1,2,...,n的一个全排列，在A上的所有置换和A的所有全排列之间存在着一一对应， n n n元集合有 n ! n! n!个 n n n元置换。

6. n元对称群

   和

   n元置换群(Sn)

   ： n n n元集合的所有 n ! n! n!个 n n n元置换的集合记作 S n S_n Sn​，它关于置换的乘法构成一个群，称为 n n n元对称群。 S n S_n Sn​的子群称为 n n n元置换群

7. k阶轮换

   ：设 σ ∈ S n \sigma ∈ S_n σ∈Sn​，若 σ \sigma σ将 { 1 , 2 , . . , n } \{1,2,..,n\} {1,2,..,n}中的 k k k个元素 i 1 , i 2 , . . . , i k i_1,i_2,...,i_k i1​,i2​,...,ik​进行如下变换： σ ( i 1 ) = i 2 , σ ( i 2 ) = i 3 , . . . , σ ( i k − 1 ) = i k , σ ( i k ) = i 1 \sigma(i_1) = i_2 ,\sigma(i_2) = i_3,...,\sigma(i_{k-1}) = i_k ,\sigma(i_k) = i_1 σ(i1​)=i2​,σ(i2​)=i3​,...,σ(ik−1​)=ik​,σ(ik​)=i1​，而其他元素保持不变，可将 σ \sigma σ记作 ( i 1 , i 2 , . . . i n ) (i_1,i_2,...i_n) (i1​,i2​,...in​)，称为一个k阶轮换

   1. 恒等置换

      ：一阶轮换称为恒等置换，相当于不变

   2. 对换

      ：二阶轮换称为对换，相当于交换两个数

      S 3 = { σ 1 , σ 2 , . . . , σ 6 } S_3 = \{\sigma_1,\sigma_2,...,\sigma_6\} S3​={σ1​,σ2​,...,σ6​}

      σ 1 = ( 1 ) = ( 1 2 3 1 2 3 ) ， σ 2 = ( 23 ) = ( 1 2 3 1 3 2 ) \sigma_1 = (1) = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{pmatrix}， \sigma_2 = (23) = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&3&2 \end{pmatrix} σ1​=(1)=(11​22​33​)，σ2​=(23)=(11​23​32​)

      σ 3 = ( 12 ) = ( 1 2 3 2 1 3 ) ， σ 4 = ( 123 ) = ( 1 2 3 2 3 1 ) \sigma_3 = (12) = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&1&3 \end{pmatrix}， \sigma_4 = (123) = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix} σ3​=(12)=(12​21​33​)，σ4​=(123)=(12​23​31​)

      σ 5 = ( 132 ) = ( 1 2 3 3 1 2 ) ， σ 6 = ( 13 ) = ( 1 2 3 3 2 1 ) \sigma_5 = (132) = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{pmatrix}， \sigma_6 = (13) = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix} σ5​=(132)=(13​21​32​)，σ6​=(13)=(13​22​31​)

8. 奇(偶)置换

   ：可以表示为偶数个对换的乘积的置换叫做偶置换。 可以表示为奇数个对换的乘积的置换叫做奇置换。

9. 逆序数

   ：设 π = i 1 , i 2 , . . . , i n \pi = i_1,i_2,...,i_n π=i1​,i2​,...,in​ 是 1 , 2 , . . . , n 1,2,...,n 1,2,...,n的一个排列，若 i k > i l 且 k < l i_k>i_l且k<l ik​>il​且k<l，称 i k i l i_ki_l ik​il​是一个

   逆序

   。排列中逆序的总数称为逆序数

0.1.2 补充定理

1. 任何一个n元置换，可以表示为若干对换之积，这些对换是可以相交的，且表法不唯一。但是不同表法中对换个数的奇偶性是不变的

2. σ ∈ S n \sigma ∈ S_n σ∈Sn​，且 σ ( j ) = i j , j = 1 , 2 , . . . , n \sigma(j) = i_j,j=1,2,...,n σ(j)=ij​,j=1,2,...,n，则在 σ \sigma σ的对换表示中，对换的个数和排列 π = i 1 , i 2 , . . . , i n \pi = i_1,i_2,...,i_n π=i1​,i2​,...,in​的逆序数的奇偶性一致

   σ = ( 1 2 … n i 1 i 2 … i n ) \sigma_ = \begin{pmatrix} 1&2& \dots & n\\ i_1&i_2&\dots & i_n \end{pmatrix} σ=​(1i1​​2i2​​……​nin​​)

0.2 符号说明

• 以下是构造中会用到的符号

  符号	解释
  R \mathbb{R} R	实数集R
  M n ( R ) M_n(\mathbb{R}) Mn​(R)	是指实数域上的n阶方阵
  E E E	单位矩阵
  d e t ( A ) det(A) det(A)	矩阵A对应的行列式
  S n S_n Sn​	n元置换群
  σ \sigma σ	n元置换
  ε σ \varepsilon_\sigma εσ​	n元置换 σ \sigma σ 的符号（奇置换取-1，偶置换取1）
  A i A_{i} Ai​	矩阵A的第 i i i 行

1. 第二公理化构造

• 第二公理化构造和线性方程组比较贴近，我们从此起步

1.1 从线性方程入手

• 有以下三种初等变换，经过初等变换，线性方程组的解不变

  1. 倍加

     ：将某行的k倍加到另一行

  2. 互换

     ：互换某两行

  3. 倍乘

     ：给某行乘一非零数
• 引入矩阵、向量、矩阵乘法等概念后，线性方程组简化为 A x = b Ax = b Ax=b，其中 A A A称为系数矩阵，我们可以完全平行地引入矩阵的初等变换
• 根据上文分析的克莱姆法则，系数矩阵所对应的系数行列式 D = d e t ( A ) D = det(A) D=det(A)有一个优良性质：可以根据 D D D是否为0判断齐次线性方程组解的情况

1.2 一个猜测

• 现在假设我们不知道行列式的定义，希望找到一个映射关系 D : M n ( R ) → R D:M_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R} D:Mn​(R)→R，它可以把系数矩阵映射为一个实数，并且可以利用这个实数是否为0判断齐次线性方程组解的情况
• 如果真的存在上述映射，显然，在系数矩阵 A A A的初等变化下， D ( M n ( R ) ) D(M_n(\mathbb{R})) D(Mn​(R))是否为0的结果不能改变。这样的具体条件不一定唯一，但有一个可行的条件如下
  1. 将某行的k倍加到另一行， D D D结果不变（

     倍加

     ）
  2. 给某行乘一非零数k， D D D结果也变为k倍（

     倍乘

     ）
  3. D ( E ) = 1 D(E) = 1 D(E)=1
  由前两个条件可以推出：互换两行， D D D结果反号（

  互换

  ），这个推导是简单的
• 可见，符合上述条件的 D : M n ( R ) → R D:M_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R} D:Mn​(R)→R，满足了在 “系数矩阵 A A A的初等变化下，是否为0的结果不变” 这一要求。至于第三条，规定 D ( E ) D(E) D(E)为任何非零数都不影响，规定为1是简单的。
• 上面这三条条件，正是行列式的第二公理化构造，以此为定义，可以唯一确定行列式的展开表达式，即各大教材上的行列式逆序数定义式。

1.3 行列式的第二公理化构造

• 行列式是满足以下三条性质的函数 D : M n ( R ) → R D:M_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R} D:Mn​(R)→R
  1. D ( . . . , λ A i , . . . ) = λ D ( . . . , A i , . . . ) D(...,\lambda A_i,...) = \lambda D(...,A_i,...) D(...,λAi​,...)=λD(...,Ai​,...)，其中 λ ∈ R \lambda ∈ \mathbb{R} λ∈R
  2. D ( . . . , A i + A j , . . . , A j , . . . ) = D ( . . . , A i , . . . , A j , . . . ) D(...,A_i+A_j,...,A_j,...) = D(...,A_i,...,A_j,...) D(...,Ai​+Aj​,...,Aj​,...)=D(...,Ai​,...,Aj​,...)
  3. D ( E ) = 1 D(E) = 1 D(E)=1

2. 第一公理化构造

2.1 行列式的第一公理化构造

• 行列式是满足以下三条性质的函数 D : M n ( R ) → R D:M_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R} D:Mn​(R)→R

  1. 斜对称性

     ：互换两行，行列式反号

  2. 多重线性

     ： D ( . . . , A i + A i ′ , . . . ) = D ( . . . , A i , . . . ) + D ( . . . , A i ′ , . . . ) D(...,A_i+A_i',...) = D(...,A_i,...)+D(...,A_i',...) D(...,Ai​+Ai′​,...)=D(...,Ai​,...)+D(...,Ai′​,...)

  3. 正规化条件

     ： D ( E ) = 1 D(E) = 1 D(E)=1

2.2 从第二公理化构造到第一公理化构造

• 第一公理化构造可以由第二公理化构造推出，具体过程如下

  1. 性质0（倍加）： D ( . . . , A i + λ A j , . . . , A j , . . . ) = D ( . . . , A i , . . . , A j , . . . ) D(...,A_i+\lambda A_j,...,A_j,...) = D(...,A_i,...,A_j,...) D(...,Ai​+λAj​,...,Aj​,...)=D(...,Ai​,...,Aj​,...)，证明如下

     λ D ( . . . , A i , . . . , A j , . . . ) = D ( . . . , A i , . . . , λ A j , . . . ) = D ( . . . , A i + λ A j , . . . , λ A j , . . . ) = λ D ( . . . , A i + λ A j , . . . , A j , . . . ) \begin{aligned} \lambda D(...,A_i,...,A_j,...) &= D(...,A_i,...,\lambda A_j,...)\\ &= D(...,A_i+\lambda A_j,...,\lambda A_j,...)\\ &= \lambda D(...,A_i+\lambda A_j,...,A_j,...) \end{aligned} λD(...,Ai​,...,Aj​,...)​=D(...,Ai​,...,λAj​,...)=D(...,Ai​+λAj​,...,λAj​,...)=λD(...,Ai​+λAj​,...,Aj​,...)​

     两边消去 λ \lambda λ即可

  2. 性质1（线性相关时，结果为0）： D ( . . . , ∑ l = 1 n a l A l , . . . ) = D ( . . . , 0 , . . . ) = 0 D(...,\displaystyle\sum_{l=1}^na_lA_l,...) = D(...,0,...) = 0 D(...,l=1∑n​al​Al​,...)=D(...,0,...)=0。重复使用性质0即可证明
  3. 证明斜对称性

     

  4. 证明多重线性：推导过程转载自：行列式的逆序数定义是怎么想出来的

     

     

2.3 行列式的解析展开式与逆序数定义

• 利用第一公理化构造，可以推出行列式的解析展开式

  

• 推导过程转载自：行列式的逆序数定义是怎么想出来的

  

  

  

• 在各大教材上常见到一种行列式的逆序数定义，如下

  

  其中 N ( j 1 , j 2 . . . j n ) N(j_1,j_2...j_n) N(j1​,j2​...jn​)代表求排列 j 1 , j 2 . . . j n j_1,j_2...j_n j1​,j2​...jn​的逆序数，其实引入这个逆序数定义，就是为了确认置换的奇偶性，从而给出行列式公式里每项前面那个正负号 ε σ \varepsilon_\sigma εσ​

3. 第三公理化构造

• 对于阶数超过3的行列式，无法用交叉技巧求解，用逆序数法展开又太麻烦，这时就适用于从第三公理化构造的角度考虑。

3.1 余子式

1. 余子式：在n阶行列式中，划去元 a i j a_{ij} aij​所在的第i行与第j列的元，剩下的元不改变原来的顺序所构成的n-1阶行列式称为元 a i j a_{ij} aij​的余子式，记作 M i j M_{ij} Mij​，即

   

2. 代数余子式：余子式乘上 ( − 1 ) i + j (-1)^{i+j} (−1)i+j后称为 a i j a_{ij} aij​的代数余子式，记作 A i j A_{ij} Aij​，即

   A i j = ( − 1 ) i + j M i j A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} Aij​=(−1)i+jMij​

   显然也有

   M i j = ( − 1 ) i + j A i j M_{ij} = (-1)^{i+j}A_{ij} Mij​=(−1)i+jAij​

3.2 行列式按某行（列）展开公式

• 行列式的值等于行列式的某行（列）元素分别乘以其相应的代数余子式后再求和，即

  ∣ A ∣ = { 按 第 i 行 展 开 ： a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + . . . + a i n A i n = ∑ j = 1 n a i j A i j ( i = 1 , 2 , . . . , n ) 按 第 j 列 展 开 ： a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + . . . + a n j A n j = ∑ i = 1 n a i j A i j ( j = 1 , 2 , . . . , n ) |A| = \left\{\begin{matrix} &按第 i 行展开：&a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in} = \displaystyle\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij} (i=1,2,...,n) \\ &按第 j 列展开：&a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj} = \displaystyle\sum_{i=1}^na_{ij}A_{ij} (j=1,2,...,n) \end{matrix}\right. ∣A∣=⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​​按第i行展开：按第j列展开：​ai1​Ai1​+ai2​Ai2​+...+ain​Ain​=j=1∑n​aij​Aij​(i=1,2,...,n)a1j​A1j​+a2j​A2j​+...+anj​Anj​=i=1∑n​aij​Aij​(j=1,2,...,n)​

  这样可以把一个n阶行列式转化为n个(n-1)阶行列式，实现降阶，直到最后可以用交叉技巧求解

• 行列式的某行（列）元素分别乘以另一行（列）元素的代数余子式后再求和，结果为0

  a i 1 A k 1 + a i 2 A k 2 + . . . + a i n A k n = 0 , i ≠ k a 1 j A 1 k + a 2 j A 2 k + . . . + a n j A n k = 0 , j ≠ k a_{i1}A_{k1}+a_{i2}A_{k2}+...+a_{in}A_{kn} = 0,i \neq k \\ a_{1j}A_{1k}+a_{2j}A_{2k}+...+a_{nj}A_{nk} = 0,j \neq k ai1​Ak1​+ai2​Ak2​+...+ain​Akn​=0,i​=ka1j​A1k​+a2j​A2k​+...+anj​Ank​=0,j​=k

  分析一下第一行的式子，使用第 i i i 行元素乘以第 k k k 行代数余子式，就相当于把原行列式中第 k k k 行内容替换为第 i i i 行内容，再按第 k k k 行展开，这个行列式中出现了两行相同，自然结果为 0