向量范数+不同范数之间的关系

近期公式证明时候遇到向量范数的运算性质，略作整理：

向量范数

Def. 设 V 是Ω上的线性空间， α∈V , || α ||: V→R+ , 满足

• 非负性

• 齐次性

  ||kα||=|k|⋅||α||,∀k∈Ω

• 三角不等式

  ||α+β||≤||α||+||β||,∀α,β∈V

  则称|| α ||为向量 α 的范数.

proof: ||α+β||≤||α||+||β||,∀α,β∈V

(||α||+||β||)2=||α||2+||β||2+2||α||∗||β||

||α+β||2=||α||2+||β||2+2<α∗β>

Cn 中常用范数, X=(x1,x2,…,xn)T∈Cn

• L1 范数： ∑ni=1|xi|
• L2 范数： ∑ni=1|xi|2−−−−−−−−√
• L∞ 范数： maxi=1,2,…,n|xi|

几种范数的几何意义：

若 X=(x1,x2)T ,且 ||X||=1 ,对应 L1 ， L2 ， L∞ ， Lp 范数的图形分别为

常用范数之间的关系

• 1n||X||1≤||X||∞≤||X||1

proof : ||X||1=∑ni=1|xi|≤n∗max|xi|=n∗||X||∞

• ||X||∞≤||X||2≤n√||X||∞

proof : ||X||2∞=(max|xi|)2≤∑ni=1|xi|2=||X||22

n||X||2∞=n∗(max|xi|)2≥∑ni=1|xi|2=||X||22

进一步范数的应用可参考：

http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24971995