【原创】开源Math.NET基础数学类库使用(16)C#计算矩阵秩1.什么是矩阵秩2.Math.NET矩阵秩计算的实现3.Math.NET计算矩阵秩的代码4.资源

　　上个月对math.net的基本使用进行了介绍，主要内容有矩阵，向量的相关操作，解析数据格式，数值积分，数据统计，相关函数，求解线性方程组以及随机数发生器的相关内容。这个月接着深入发掘math.net的各种功能，并对源代码进行分析，使得大家可以尽可能的使用math.net在.net平台下轻易的开发数学计算相关的，或者可以将其中的源码快速移植到自己的系统中去(有时候并不需要所有的功能，只需要其中的部分功能代码)，今天要介绍的是math.net中利用c#计算矩阵秩的功能。

　　矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。在线性代数中，一个矩阵a的列秩是a的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是a的线性无关的横行的极大数目。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵a的秩。通常表示为r(a)，rk(a)或rank a。矩阵的行秩与列秩相等，是线性代数基本定理的重要组成部分. 其基本证明思路是，矩阵可以看作线性映射的变换矩阵，列秩为像空间的维度，行秩为非零原像空间的维度，因此列秩与行秩相等，即像空间的维度与非零原像空间的维度相等（这里的非零原像空间是指约去了零空间后的商空间：原像空间）。这从矩阵的奇异值分解就可以看出来。矩阵秩的计算最容易的方式是高斯消去法，这里引用维基百科的内容：

　　计算矩阵a的秩的最容易的方式是高斯消去法，即利用矩阵的初等变换生成一个行阶梯型矩阵，由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，因此a的行梯阵形式有同a一样的秩。经过初等变换的矩阵的非零行的数目就是原矩阵的秩。例如考虑4 × 4矩阵：

我们看到第2纵列是第1纵列的两倍，而第4纵列等于第1和第3纵列的总和。第1和第3纵列是线性无关的，所以a的秩是2。这可以用高斯算法验证。它生成下列a的行梯阵形式:

　　它有两个非零的横行。在应用在计算机上的浮点数的时候，基本高斯消去（lu分解）可能是不稳定的，应当使用秩启示（revealing）分解。一个有效的替代者是奇异值分解（svd），但还有更少代价的选择，比如有支点（pivoting）的qr分解，它也比高斯消去在数值上更强壮。秩的数值判定要求对一个值比如来自svd的一个奇异值是否为零的依据，实际选择依赖于矩阵和应用二者。 <a href="http://zh.wikipedia.org/wiki/%e7%a7%a9_(%e7%ba%bf%e6%80%a7%e4%bb%a3%e6%95%b0)" target="_blank">http://zh.wikipedia.org/wiki/秩_(线性代数)</a>

　　矩阵秩在线性代数中的应用还是很广的，如计算线性方程组的解的数目等，下面就看一下math.net中对该过程的计算实现以及如何调用的例子。

　　math.net在对矩阵秩的计算过程中，和行列式的实现方式非常相似，也是把其作为矩阵计算的一个小部分功能，作为属性添加在各个矩阵分解算法的抽象和实现类中，看一下其中一个svd分解算法抽象，由于计算简单，已经直接实现了秩的计算，继承类可以直接使用，就够了，其他的使用下面也和行列式类似。

　　上述过程和原理只是便于大家理解其实现过程，下面简单演示一下在math.net中计算矩阵秩的过程，就是直接调用计算即可。

结果如下：