C++程序设计：原理与实践（进阶篇）16.5 数值算法

<b>16.5　数值算法</b>

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大多数的标准库算法都涉及处理数据管理问题：它们需要对数据进行拷贝、排序、查找等。但是，只有少数算法涉及数值计算。当我们需要进行计算时，这些数值算法就变得十分重要了，并且这些算法为我们在stl框架中编写数值算法提供了范例。

在stl标准库中只有四种数值算法：

数值算法

x = accumulate(b,e,i) 累加序列中的值；例如，对{a, b, c, d}计算i+a+b+c+d。结果x的类型与初始值i的类型一致

x = inner_product(b,e,b2,i) 将两个序列的对应元素相乘并将结果累加。例如，对{a, b, c, d}和{e, f, g, h}计算i+a·e+b·f+c·g+d·h。结果x的类型与初始值i的类型一致

r = partial_sum(b,e,r) 对一个序列的前n个元素进行累加，并将累加结果生成一个序列。例如，对{a, b, c, d}将生成{a, a+b, a+b+c, a+b+c+d}

r = adjacent_difference(b,e,b2,r) 对一个序列的相邻元素进行减操作，并将得到的差生成一个序列。例如，对{a, b, c, d}将生成{a, b-a, c-b, d-c}

这些算法可以在&lt;numeric&gt;中找到。我们将介绍前两个，如果你觉得有需要的话，可以自己去查阅其他两个的详细情况。

16.5.1　累积

accumulate()是最简单但最有用的数值算法。在其最简单的形式中，该算法将一个序列中的值进行累加：

给定初始值init，该算法将序列[f?irst:last)中的每个值加到init上，并将和返回。init通常被称为累加器。例如：

这段代码将打印15，即0+1+2+3+4+5（0是初始值）。显然，accumulate()能够被用于所有类型的序列：

结果（和）的类型与accumulate()用来保存累加器的变量的类型一致。这带来了一定的灵活性，这可能是十分重要的，例如：

在一些计算机上long的有效位数要比int更多。与int型相比，double能够表示更大范围的数，但可能精度更差。我们将在第24章中再讨论范围和精度在数值计算中所起的作用。

将保存结果的变量用作初始值是一种常见的指明累加器类型的方法：

记住：要初始化累加器并将accumulate()的结果保存在这个变量中。在本例中，s2在初始化之前就用作了初始化器，因此算法的结果是未定义的。我们将s3传递给accumulate()（传值方式，参见8.5.3节），但算法结果并未被保存，这只是浪费时间。

16.5.2　泛化accumulate()

基本的三参数accumulate()版本执行累加运算。但是，我们可能还想在序列上执行很多其他有用的运算，例如乘法和减法。为此，stl提供了另一个四参数的accumulate()版本，允许我们指定要执行的运算：

任何接受两个累加器类型实参的操作均能用于这一版本的accumulate()。例如：

这段代码将打印35.1384，即1.0×1.1×2.2×3.3×4.4（1.0为初始值）。这里提供的二元运算符multiplies&lt;double&gt;()是一个实现乘法运算的标准库函数对象；multiplies&lt;double&gt;实现double的乘法；multiplies&lt;int&gt;实现int的乘法，等等。还有一些其他的二元函数对象：plus（加法），minus（减法），divides，modulus（取余）。这些对象均在&lt;functional&gt;中定义（见附录c.6.2）。

注意，为了计算浮点数的积，初始值显然应设为1.0。

如sort()例子（见16.4.2节）中所示，我们常常对类对象中包含的数据更感兴趣，而不仅仅是普通内置类型。例如，给定物品的单位价格和单位数，我们可能想要计算所有物品的价值总和：

我们可以让accumulate的运算符从一个record元素中抽取units，将其与单位价格相乘并加到累加器中：

我们在这里很“懒惰”，使用了函数而不是函数对象——这仅仅是为了展示可以这么做。我们倾向于优先选用函数对象：

如果需要在调用之间保存值；

或者，如果代码很短以致内联化会带来很大不同（至多是几个原语操作）。

基于第二个原因，我们应该在本例中选用函数对象。

试一试

定义一个vector&lt;record&gt;，用你所选择物品的四个记录将其初始化，并用上面的函数计算物品的总价值。

16.5.3　内积

给定两个向量，将它们对应位置的元素相乘并将结果累加，这一运算称为向量的内积（inner product），内积在很多领域都十分有用（例如物理和线性代数，参见24.6节）。如果你更喜欢代码而不是文字，下面就是stl版本：

这段代码将内积的概念推广到任意元素类型的任何序列。以股票市场指数为例。在股票市场中，每一上市公司都会被分配一个“权重”。例如，在道琼斯工业指数中，我们看到alcoa公司的最新权重为2.4808。为了获得当前的指数值，我们将每个公司的股票价格与其权重相乘，并将所得所有加权价格相加。显然，这就是价值和权重的内积。例如：

注意，inner_product()处理两个序列。但它只接受三个参数，对于第二个序列只描述了开始位置。算法假设第二个序列包含的元素个数要等于或多于第一个序列。如果这一假设不成立，将产生运行时错误。对于inner_product()而言，第二个序列包含更多元素是没问题的，那些“多余的元素”将简单地不予处理。

两个序列不需要具有相同的类型，元素类型也不必相同。为了展示这一点，我们使用了vector存储价格、用list存储权重。

16.5.4　泛化inner_product()

inner_product()可以像accumulate()那样泛化，但它需要两个额外参数：一个用于将累加器与新值组合起来（与accumulate()完全一样），另一个用于组合元素值对：

在16.6.3节中，我们将回到道琼斯的例子，给出一个更优雅的解决方案，其中就使用了这个泛化的inner_product()。