本节书摘来自异步社区《贝叶斯思维：统计建模的python学习法》一书中的第1章，第1.4节，作者【美】allen b. downey，更多章节内容可以访问云栖社区“异步社区”公众号查看
现在，我们准备好进行贝叶斯定理推导需要的所有条件了。首先，我们注意到，联合概率是乘积可交换（乘法交换律）的，即：
对于任何a，b表示的事件都成立。
然后，我们写出一个联合概率的表达式：
由于我们并没有明确定义a和b的含义，因而可以对a、b进行互换操作。
交换它们的位置：
把这些表达式连接起来，我们得到下面的表达式：
这意味着我们有两种方式计算联合概率，已知p(a)，乘以p(b|a)；或者从另一方向，已知p(b)，乘以p(a|b)。两种方法是相同的。
最后，将上式除以p(b)，得到：
这正是贝叶斯定理！看起来不起眼，不过它会显示出令人吃惊的强大之处。
例如，我们可以用它来解决曲奇饼问题。
假设b1表示曲奇饼属于碗1的概率，v表示曲奇饼是香草曲奇饼的概率。
带入贝叶斯定理我们得到：
等式左边就是我们希望得到的，一块香草曲奇饼来自碗1的概率。
等式的右边表示：
p(b1)：这是我们忽略得到曲奇饼这个条件时（零条件下）选中碗1的概率。因为选择碗的过程是随机的，我们可以假设p(b1)=1/2。
p(v|b1)：这是从碗1得到一个香草曲奇饼的概率＝3/4。
p(v)：从任意碗里得到一个香草曲奇饼的概率。因为考虑到选择碗的机会均等，而且每个碗的曲奇饼数量都是40，得到曲奇饼的机会是相同的。两个碗中香草和巧克力曲奇饼总数各是50和 30，因此p(v)＝5/8。
把它们放在一起，我们得到：
结果是3/5。所以，“得到一块香草曲奇饼”是支持于假设“来自碗1”的证据，因为香草曲奇饼来自碗1的可能性更大。
这个例子演示了一个应用贝叶斯定理的案例：它提供了一个从p(b|a) 得到p(a|b)的策略。
这种策略在解决类似“曲奇饼问题”的情况下是有用的，即从贝叶斯等式的右边计算要比左边容易的情况下。