《机器人与数字人：基于MATLAB的建模与控制》——2.6节习题

本节书摘来自华章社区《机器人与数字人：基于matlab的建模与控制》一书中的第2章，第2.6节习题，作者［美］顾友谅（edward y.l.gu），更多章节内容可以访问云栖社区“华章社区”公众号查看

习题

1给定三维向量a、b和c且a≠0。

a如果a·b=a·c，能否推出b=c?

b如果a×b=a×c，能否推出b=c?

c如果a·b=a·c，且a×b=a×c，能否推出b=c?

如果以上情况的答案都是否定的，请给出反例。

2如果一个力向量f及其大小为‖f‖=6n，作用在绕原点o旋转的刚体上的p点，其径向向量定义为r=op，那么扭矩τ=r×f。采用这种定义，求如图22中所示的θ=20°和θ=-20°时的扭矩，其中刚体为等边三角形。

3给定三维空间的两条直线。直线1沿着向量v1=(1 1 1)t的方向且通过点a={0,0,2}。直线2沿着向量v2=(2 0 -1)t的方向且通过点b={1, 0, 0}。

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a求出两条直线的公共法向量；

b求出两个三维直线之间的最短距离。

4在三维空间里有三个向量a=(1 0 0)t、b=(1 3 3)t和c=(2 2 6)t。

a确定这三个向量组成的平行六面体的体积；

b计算向量c的顶点到向量a和b组成的平面的距离h。

5给定和习题4中相同的三个向量a、b和c。

a求出这三个向量的斜对称矩阵s(·)；

b ［s(a),s(b)］ c等于什么？

c［［s(a),s(b)］, s(c)］的结果是什么？

6如果a是一个单位向量，即ata=‖a‖=1，且b是任意三维向量，表明

a×(a×(a×b))=b×a

如果a不是单位向量，以上方程将有什么变化？

7令v1=(2 0 1)t，并且v2= (0 1 2)t。找出旋转矩阵r，使得v2 = rv1。

8三维空间中一个平面定义为x-y+2z=0，并且给定一个三维向量v=(2 1 0)t。

a确定向量v在平面上的正交投影vp；

b求出一个旋转矩阵r使得投影=r，其中，p=vp/‖vp‖以及=v/‖v‖分别是vp和v的单位向量。

9给定两个旋转矩阵

求出这两种情况下的转角和单位向量k。

10在k过程中，证明：

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a k2+i=kkt, 其中s(k)=k×=k，并且i是3×3单位矩阵；

bk2=11－cosr+rt2－i;

c如果单元轴线k被认为是时变的且是k的时间导数，那么

kk=o

式中，o是3×3零矩阵。

11一个对偶方阵a∧，它的对偶特征值λ∧和对偶特征向量x∧满足a∧x∧=λ∧x∧。如果

a∧=3－21+

－1+32+

求出它的两个对偶特征值。

12对于两个对偶矩阵：

哪一个是特殊正交对偶矩阵∈so(3,d)?并求出其位置向量p。

13令一个三角函数定义为

f(x)=8sin2x3cosx+5sin3x

假如某一瞬时x=15以及=-12。

a采用对偶数微积分，求出函数的瞬时时间导数(x)；

b同时确定df(x)/dx的取值。

14假如一个二维坐标系从{x,y}到{ξ,η}的变换为

采用外微积分，确定dξdη和dxdy之间的微分变换。

15判定以下第一类微分形式是否是恰当的。如果是恰当的，找出标量函数μ(·)，使得σ=dμ。