假設有9個狀态，其狀态轉移圖如下所示：
根據狀态轉移圖，我們可以得到其一步轉移機率矩陣為P:
問題一：從狀态1在1000次内轉移到狀态9的機率為多少？
理論值：
由一步轉移機率矩陣P的性質知，P的n次幂矩陣Pn中的第i行第j列的元素表示的是從狀态i經過n步轉移到狀态j的機率。注意到，狀态9為吸收态。是以，在1000步以内的任意一步到達狀态9後，就永遠停留在了狀态9。是以P的1000次幂矩陣P1000中的第1行第9列就是從狀态1在1000次内轉移到狀态9的機率。
仿真值：
在仿真中，我們設定仿真次數為100000次（越大越好），設定初始狀态為1，在1000步中，如果到達狀态9就記錄，然後跳出循環，開始新一輪循環。具體代碼如下：
問題二：從狀态1到狀态9平均需要幾步？
最直覺的想法就是：假設從狀态1到達狀态9需要n步的機率為pn，則平均步數可以表示為1*p1+2*p2+……+n*pn+……。注意，這裡的pn是首達機率，即從狀态1經過k步首次到達狀态9的機率，也就是前k-1次沒有到達狀态9。顯然這裡的首達機率而不是轉移機率矩陣中的機率。這裡的首達機率不好求，不過可以矩陣論（可惜沒有選這門課）的相關知識來理論求解，最終可以得到的表達式如下：
其中，x，y表示狀态，在本例中，x=1,y=9，其它符号表示如下：
有時候，理論比較複雜的問題，仿真起來就相對簡單，和問題一中的仿真類似，假定仿真次數為10000次，設定最大步數為100000000，當到達狀态9時，就記錄所需步數并跳出循環，具體的程式實作如下：
作者：nineheadedbird