title: 斯坦福凸優化課程Video2-2

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notebook: 6- 英文課程-14-convex optimization

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斯坦福凸優化課程Video2-2

超平面和半空間hyperplane and half place

類似于形式

,就是一種超平面，在這裡A和是向量，b是标量，是以x是一個向量，代表了一個平面或者一個超平面（在不同的次元上）。

對于半空間，其實就是把上文中平面的方程中的等号邊成不等号，所表示的區域就從平面變成了整個空間的一部分，也稱為半空間。定義如下：

球和橢圓ellipsoids

我們還可以用模的形式對其他的一些圖形集合進行描述，比如球

可以用如下的形式描述:

可以看到雙豎線描述的是範數，可以了解為距離，這個不等式将x與x0的距離限制到了r以内，就描述了一個球的集合。

還可以用另外一個描述方式，就是圓心和半徑的形式，思想式相同的。

當然還可以描述橢球，方程如下：

這個方程式是之前的球的方程的一個邊形，不等式左邊的是一個二次型，描述了x與xc的二次型的表達。進而描述了一個被壓扁的圓，也就是橢圓。

模球和模錐

首先介紹模的概念：模描述的是兩個點之間的距離，模有如下三個規則。

• 第一個是恒大于0
• 第二個是可以提出系數
• 還有就是三角不等式，使用距離的定義都很好了解

polyhedra 多面體

一系列的線性不等式的解我們稱為多面體，線性不等式可以描述為下面的形式：

其中

這個符号表示 矩陣的不等關系，這個方程的解再二維條件下得到的解區域為

positive semidefinite cone 正半定錐

下面我們要定義這樣幾個符号：

1. 

   是一個n維空間中的集合

2. 

   是一個集合，集合裡的元素滿足限制

   

   ，也就是說，對于

   

   中的所有的元素，他們都滿足》= 0的限制，我們再下面的例子中也可以看到。

3. 

   這個的概念和上面的

   

   差不多，隻不過将大于等于變成了嚴格的大于。

舉個例子來說，就是這樣，如果我們的方程是這樣的：

那麼得到的解就是，他組成的二次型大于0，畫出圖像來是這樣的。