思考一個問題
分析：
設函數u(x) 和v(x)具有連續的導數， (uv)' = u'v + uv'
将上式變形 為：uv' = (uv)' - u'v.
兩邊都取積分，得：
∫ uv' dx = uv — ∫ u'vdx 。 這個等式就是分部積分公式。
一. 分部積分公式的定義
現在，我們可以得出， 要計算一個積分， 可以表達為求uv 減去另一個積分。
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注意： v'dx = dv, u'dx = du. 就是說d之後是跟着原函數，原來有v', 就轉化為dv,
原來有u', 就轉化為du.
是以分部積分公式 又可寫成：
∫ udv = uv - ∫ vdu
現在對比看下:
二. 有了分部積分公式， 現在需要考慮哪個函數作為u, 哪個函數作為v？
先看一個例子
從上述兩種方法，可以看出， 設定u, v的要求
（1） v要易求出
（2）∫vdu 要比 ∫udv易求。
三. 現在回到本文開頭提到的題目
用分部積分法求解
解：令u=x, v' = eˣ，
∫xeˣdx = xeˣ - ∫eˣdx = xeˣ - eˣ + C
四. 有幂函數的積分的結論
1. 如果是幂函數乘以三角函數， 選u為幂函數， v'為三角函數
2. 如果是幂函數乘以指數函數， 選u為幂函數， v'為指數函數
這樣設定，是為了降幂一次。
五. 三角函數與指數函數的積分
遇到三角函數乘以指數函數的積分， 設u為其中任意一種函數都可以。
六. 反三角函數的積分
對于反三角，有這樣口訣： 易積分的設為v , 易求導的設為u.
解答此題， 要能記得 (arctanx)'= 1/ (1+x²)
結論： 在反三角函數的積分中， 標明 u為反三角函數，因為反三角的原函數很難求出。
七. 對數函數的積分
結論： 當被積函數裡有對數函數時， 選u為對數函數。
例： 求積分 ∫x³ lnxdx.
解： 如果将v' 設為lnx, 能否解出原函數v 呢？ 比較難！