線性二自由度汽車模型對前輪角階躍輸入的穩态響應分析（matlab/simulink）
一、線性二自由度汽車模型
為了便于掌握操縱穩定性的基本特性，我們将多自由度的整車模型簡化成為二自由度模型。主要有以下假設：
1. 忽略轉向系統的影響，直接以前輪轉角作為輸入；
2. 不考慮懸架的作用，認為汽車相對于地面隻作簡單的平面運動，即汽車沿z軸的位移，繞y軸的俯仰角與繞x軸的側傾角均為零；
3. 在分析中假設汽車沿x軸的速度不變。是以，汽車隻有沿y軸的側向運動與繞z軸的橫擺運動這兩個自由度。此外，汽車的側向加速度限定在0.4g以下，輪胎側偏特性處于線性範圍。
4. 對于運動微分方程建立還假設：忽略地面對輪胎作用産生輪胎側偏特性的改變，沒有空氣動力的影響，也不考慮左右車輪轉向時載荷變化而引起的輪胎特性的變化以及輪胎回正力矩的影響。
這樣所建立的模型如圖1所示。
圖1
分析時，令汽車的質心同車輛坐标系的原點相同。基于上述假設，可将汽車的轉動慣量、品質分布系數等參數視為常數，這使得建立運動微分方程很友善。
建立二自由度汽車模型的運動微分方程主要需确定：汽車質心的加速度在車輛坐标系上的分量，二自由度汽車受到的外力與繞質心的外力矩，外力、外力矩與汽車運動參數的關系。
1.1 首先确定汽車質心的加速度在車輛坐标系上的分量
如圖2所示：
圖2
x、y為車輛坐标系的縱軸與橫軸。在t時刻，質心速度在x軸上的分量為 u，在y軸上的分量為v；而在 t + ∆t時，坐标系中的質心速度的方向和大小都會發生變化。可以得到沿x軸的速度分量的變化如式（1-1）：
因為 ∆θ 很小，是以cos∆θ≈1，sin∆θ≈θ，忽略二階微量∆θsin∆θ，上式可簡化為：
∆u - v∆θ (1-2)
除以 ∆t 并取極限，可以得到汽車絕對加速度在坐标系的x軸上的分量，同理可得汽車絕對加速度在坐标系y軸上的分量：
1.2 二自由度汽車受到的外力與繞質心的外力矩
二自由度的汽車所受的外力沿y方向的合力以及繞質心的力矩和為:
上式中，δ為前輪轉角；FY1、FY2分别為地面對前、後輪的側偏力。因為δ比較小，上式可簡化為：
上式中，α1、α2分别為前、後輪的側偏角。
1.3 考慮汽車前後側偏角與運動參數的關系
汽車質心側偏角為β，β ≈ tanβ = v/u（1-9）
ξ是u1與x軸的夾角（剛體的運動可以看成随質心的運動以及繞質心的轉動），
根據坐标系的規定，前後輪的側偏角為：
（1-11）
外力、外力矩和汽車運動參數的關系式如下:
是以得到二自由度汽車的運動微分方程為:
整理可得
式中，m為整車品質；k1、k2分别為前、後車輪的側偏剛度；a、b分别為前、後軸到質心的距離；v 為側向速度；u 為橫向速度；β為質心側偏角；δ為前輪轉角；ωr為橫擺角速度。
二、使用Matlab/Simulink建立線性二自由度汽車模型
2.1 建立模型方法
（1）建立模型檔案，并将Simulink的Simulink Library Browser打開。
（2）依據理論以及數學模型，在Simulink Library Browser中選取所需要的子產品，将它複制到空白的模型視窗當中。主要用到的模型有：常量constant、積分integrator、乘除divide、加減subtract、階躍信号step和示波器顯示scope。
（3）根據理論以及數學模型，将各子產品之間進行連線，進而使它成為一個系統。
（4）對各個子產品的參數進行設定。
最後建立的模型如圖4所示。
圖4
使用的模拟參數如下：
2.2 模拟情況：
（1）車速不變取不同角階躍輸入
汽車以u = 25 m/s（即90km/h）速度行駛時，在仿真時間為1 s時給前輪一個階躍信号，角階躍輸入分别取5°、10°、15°，并保持此角度不變。此時橫擺角速度響應曲線如圖 5 所示。由圖5可以看出，随着前輪轉角的增加，進入穩态所經曆的時間略微增加，橫擺角速度的超調量逐漸增大，是以車輛行駛時應避免急轉方向盤影響車輛的穩定性。
圖5
（2）不同車速下相同角階躍輸入的響應。角階躍輸入為5°，車速分别取25m/s（即90km/h）、30 m/s（即111km/h）、35 m/s（即126km/h）、40 m/s（即144km/h），此時橫擺角速度響應曲線如圖 6 所示。由圖6可以看出，角階躍輸入固定時，穩态橫擺角速度基本相同，但車速越大，橫擺角速度的超調量越大，達到穩态所需的時間越長，是以應該避免在高速行駛時急轉方向盤産生大的前輪轉向角。（可以計算出車輛穩定性因數K=0.0011m2/s2，特征車速Uch=30.8m/s。）
圖6
搭建好的模型 .slx檔案可以從 我的百度網盤下載下傳
https://pan.baidu.com/s/1CMEGcfMyndZtioN7r9VehQ
提取碼： 7hxm