echarts symbol 回調函數_複分析(3)-多值函數的解析分支

本篇介紹一個跟數分中不太一樣的部分，就是多值函數以及其解析分支，在下面的内容中主要會以定義、定理和例題為主，對之前内容的複習較少。

• 基本定義
• 複變函數中的指數函數和對數函數
• 解析函數的對數解析分支
  • 對數函數的解析分支
  • 多值輻角函數的解析分支
• 解析函數n次方根的解析分支
  • 連續函數為n次方根的解析分支的判定定理
• 複變函數中幂函數
  • 幂函數的解析分支
• 複變函數中的三角函數

基本定義

指數函數和對數函數

有如下性質

• 若

  

  則

  

• 若

  

  ，這時複變中的指數函數和數分中的指數函數一緻

• 

• 

  在複平面上解析

  

• 

• 

  是以

  

  為基本周期的周期函數

對于指數函數還有三個注

1. 

   無極限

2. 

   僅是記号沒有幂的意義
3. 數分中的微分中值定理不能推廣到多值函數中

對數函數的定義

對數函數的性質

• 

• 對數函數

  

  的定義域為

  

• 

關于對數函數還有一個注

1. 

   不成立

解析函數的對數解析分支

如果

的點确定

,則滿足

的單值解析分支

也就唯一确定了

且其解析分支有如下形式：

對數函數的解析分支

該解析分支可以表示為：

多值輻角函數的連續分支

注意到該連續分支還有如下的表示形式

由這個例題可以引出如下推論

解析函數n次方根的解析分支

對于複平面上函數

有

連續函數為n次方根的解析分支的判定定理

幂函數

兩個性質

幂函數的解析分支

對于複平面上的函數

有以下的分類結果

1. 當

   

   是正整數

   

   時，

   

   是單值函數
2. 當

   

   時，

   

   是n值函數
3. 當

   

   是有理數時，即

   

   有

   

   是q值函數
4. 當

   

   是無理數或者複數時，有

   

   是無窮多值函數

三角函數

正弦函數和餘弦函數

1. 

2. 當z為實數時，與數分中的正弦和餘弦函數的定義一緻
3. 在整個複平面解析，

   

4. 正弦函數是奇函數，餘弦函數是偶函數，并服從三角恒等式

5. 

   都是以

   

   為基本周期的周期函數

6. 

   的零點為

   

7. 

   的零點為

   

8. 

   （歐拉公式在複平面的推廣）

正切、餘切、正割和餘割

1. 

2. 

3. 正切，餘切的基本周期為

   

   ;正割，餘割的基本周期

   

雙曲函數

雙曲正弦，

雙曲正弦

雙曲正切，

雙曲餘切

注：它們都是解析函數且都是以

為基本周期

反三角函數

反三角函數的定義

反三角函數的性質