信号與系統——階躍信号與沖激信号

我們在學習階躍信号與沖激信号之前，我們首先要知道什麼是奇異信号？

•  什麼是奇異信号？

解釋：函數本身有不連續點（跳變點）或其導數與積分有不連續點的一類函數統稱為奇異信号或奇異函數。而我們下面所要介紹的機關斜變信号、機關沖激信号、機關階躍信号、沖擊偶信号都屬于奇異信号。

• 什麼是機關斜變信号？

解釋：斜變信号又稱為斜坡信号或斜升信号。這是指從某一時刻開始随時間正比例增長的信号。如果增長的變化率是 1 ，就稱為機關斜變信号。

其表達式為：

，波形為：

當信号 R(t) 延遲 t0 個機關時，我們可以得出下圖所示的波形，在這裡我們對信号的移位不稱為移位，稱為信号延遲了 t0 個機關。 

則延遲的信号表達式為：

，波形為：

•  什麼是機關階躍信号？

解釋：機關階躍信号的表達式為：

，對于在跳變點 t=0 處而言，函數值未定義，或在 t=0 處規定函數值為 u(0) = 1/2 。

其波形如下圖所示：

當信号 u(t) 延遲 t0 個機關時，我們可以得出下圖所示的波形，其延遲之後的表達式為

    ， t0>0 :

我們在該們課中，也會經常見到另一種用階躍信号所構成的信号，其被稱為門函數，又被稱為矩形窗函數。其表達式為：

其波形為：

機關階躍信号還被用來表示另外一種函數，被稱為符号函數，寫作 sgn(t)  定義如下所示：

，

符号函數又可以被階躍函數來表示：

•  什麼是機關沖激信号？

解釋：沖激函數可由不同的方式來定義，它是一個“面積”等于1的理想化了的窄脈沖。也就是說，這個脈沖的幅度等于它的寬度的倒數。當這個脈沖的寬度愈來愈小時，它的幅度就愈來愈大。當它的寬度按照數學上極限法則趨近于零時，那麼它的幅度就趨近于無限大，這樣的一個脈沖就是“機關沖激函數”。在實際工程中，像“機關沖激函數”這樣的信号是不存在的，至多也就是近似而已。

我們通過對矩形脈沖信号推導可以得到沖激信号。設矩形脈沖信号的表達式為：

其波形為：

 當我們将 

 時，保持其面積為 1 ，則脈寬将降低，脈沖高度将趨于無窮大，此極限情況即為機關沖激函數。

則其表達式可以表示為： 

波形圖為： 

 對于沖激函數而言，隻有在 t=0 點有一“沖激”，在 t=0 點以外各處，函數值都是零。

上面是由矩形脈沖函數來對沖激函數進行定義的，也可以用另外的函數來進行定義，下面是所用的函數對沖激函數進行定義：

 但是對于抽樣信号而言，當 K 越大時，函數的振幅也就越大，且離開原點時函數振蕩越快，衰減越迅速。

下面分别表示了各個脈沖信号演變為沖激函數：

 當然，還有一種是狄拉克函數對沖激函數定義：

沖激函數為偶函數。