數學分析 函數項級數(第13章)

一.一緻收斂性

1.函數列及其一緻收斂性

(1)函數列:

(2)函數列的極限及斂散性:

(3)一緻收斂:

如果函數在區間 I I I上收斂,其在各點的收斂速度可能差别很大;但如果函數在區間 I I I上一緻收斂,就需要其在各點的收斂速度大緻相同

(4)函數列一緻收斂性的判斷:

定理13.1(函數列一緻收斂的柯西準則):函數列 { f n } \{f_n\} {fn​}在數集D上一緻收斂的充要條件是:對 ∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N + ∀ε>0,∃N∈N_+ ∀ε>0,∃N∈N+​,使當 n . m > N n.m>N n.m>N時,對 ∀ x ∈ D ∀x∈D ∀x∈D有 ∣ f n ( x ) − f m ( x ) ∣ < ε ( 4 ) |f_n(x)-f_m(x)|<ε\qquad(4) ∣fn​(x)−fm​(x)∣<ε(4)

定理13.2:函數列 { f n } \{f_n\} {fn​}在數集D上一緻收斂于 f f f的充要條件是: lim ⁡ n → ∞ s u p x ∈ D ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ = 0 \displaystyle\lim_{n \to \infty}sup_{x∈D}|f_n(x)-f(x)|=0 n→∞lim​supx∈D​∣fn​(x)−f(x)∣=0

推論:函數列 { f n } \{f_n\} {fn​}在區間D上不一緻收斂于 f f f的充要條件是: ∃ { x n } ⊂ D ∃\{x_n\}\sub D ∃{xn​}⊂D,使 { f n ( x n ) − f ( x n ) } \{f_n(x_n)-f(x_n)\} {fn​(xn​)−f(xn​)}不收斂于0

(5)内閉一緻收斂:

如果 I I I為閉區間,在 I I I上一緻收斂和在 I I I上内閉一緻收斂等價(因為 I I I本身也是1個子區間);如果 I I I至少有1側是開的,則在 I I I上一緻連續可保證在 I I I上内閉一緻連續,反之不成立(因為端點的性質可能"不好")

内閉一緻收斂的概念使我們可以抛開性質"不好"的端點來考察區間的其餘部分

這裡的性質"不好"是指函數在該點不收斂或收斂速度與其他點相差過大(趨于 0 0 0或 ∞ \infty ∞)

2.函數項級數及其一緻收斂性

(1)函數項級數:

(2)函數項級數的斂散性:

(3)函數項級數一緻收斂的充要條件:

定理13.3(函數項級數一緻收斂的柯西準則):函數項級數 ∑ u n ( x ) \sum u_n(x) ∑un​(x)在數集D上一緻收斂的充要條件是:對 ∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N + ∀ε>0,∃N∈N_+ ∀ε>0,∃N∈N+​,使當 n > N n>N n>N時,對 ∀ x ∈ D ∀x∈D ∀x∈D和 ∀ p ∈ N + ∀p∈N_+ ∀p∈N+​有 ∣ S n + p ( x ) − S n ( x ) ∣ < ε |S_{n+p}(x)-S_n(x)|<ε ∣Sn+p​(x)−Sn​(x)∣<ε即 ∣ u n + 1 ( x ) + . . . + u n + p ( x ) ∣ < ε |u_{n+1}(x)+...+u_{n+p}(x)|<ε ∣un+1​(x)+...+un+p​(x)∣<ε此定理中,當 p = 1 p=1 p=1時,得到函數項級數一緻收斂的1個必要條件

推論:函數項級數 ∑ u n ( x ) \sum u_n(x) ∑un​(x)在數集D上一緻收斂的必要條件是函數列 { u n ( x ) } \{u_n(x)\} {un​(x)}在D上一緻收斂于0

定理13.4:函數項級數 ∑ u n ( x ) \sum u_n(x) ∑un​(x)在數集D上一緻收斂于 S ( x ) S(x) S(x)的充要條件是: lim ⁡ n → ∞ s u p x ∈ D ∣ R n ( x ) ∣ = lim ⁡ n → ∞ s u p x ∈ D ∣ S ( x ) − S n ( x ) ∣ = 0 \displaystyle\lim_{n \to \infty}sup_{x∈D}|R_n(x)|=\displaystyle\lim_{n \to \infty}sup_{x∈D}|S(x)-S_n(x)|=0 n→∞lim​supx∈D​∣Rn​(x)∣=n→∞lim​supx∈D​∣S(x)−Sn​(x)∣=0

(4)函數項級數的餘項:

3.函數項級數的一緻收斂性判别法

(1)魏爾斯特拉斯判别法(M判别法,優級數判别法):

定理13.5:設函數項級數 ∑ u n ( x ) \sum u_n(x) ∑un​(x)定義在數集D上, ∑ M n \sum M_n ∑Mn​為收斂的正項級數,若對 ∀ x ∈ D ∀x∈D ∀x∈D有 ∣ u n ( x ) ∣ ≤ M n   ( n = 1 , 2... ) ( 12 ) |u_n(x)|≤M_n\,(n=1,2...)\qquad(12) ∣un​(x)∣≤Mn​(n=1,2...)(12)則 ∑ u n ( x ) \sum u_n(x) ∑un​(x)在D上一緻收斂

(2)阿貝爾判别法與狄利克雷判别法:

定理13.6(阿貝爾判别法):設

① ∑ u n ( x ) \sum u_n(x) ∑un​(x)在區間 I I I上一緻收斂

②對 ∀ x ∈ I , { V n ( x ) } ∀x∈I,\{V_n(x)\} ∀x∈I,{Vn​(x)}單調

③ { V n ( x ) } \{V_n(x)\} {Vn​(x)}在 I I I上一緻有界,且 ∃ M > 0 ∃M>0 ∃M>0,使對 ∀ x ∈ I , ∀ n ∈ N + ∀x∈I,∀n∈N_+ ∀x∈I,∀n∈N+​,有 ∣ v n ( x ) ∣ ≤ M |v_n(x)|≤M ∣vn​(x)∣≤M

則級數(13)在 I I I上一緻收斂

定理13.7(狄利克雷判别法):設

① ∑ u n ( x ) \sum u_n(x) ∑un​(x)的部分和函數列 S n ( x ) = ∑ k = 1 n u k ( x )   ( n = 1 , 2... ) S_n(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^nu_k(x)\,(n=1,2...) Sn​(x)=k=1∑n​uk​(x)(n=1,2...)在 I I I上一緻有界

②對 ∀ x ∈ I , { V n ( x ) } ∀x∈I,\{V_n(x)\} ∀x∈I,{Vn​(x)}單調

③在 I I I上 v n ( x ) ⇉ 0   ( n → ∞ ) v_n(x)⇉0\,(n\to\infty) vn​(x)⇉0(n→∞)

則級數(13)在 I I I上一緻收斂

二.一緻收斂函數列與函數項級數的性質

1.一緻收斂數列的性質

(1)獨立變量求極限的順序可交換:

定理13.8:設函數列 { f n } \{f_n\} {fn​}在 ( a , x 0 ) ∪ ( x 0 , b ) (a,x_0)∪(x_0,b) (a,x0​)∪(x0​,b)上一緻收斂于 f ( x ) f(x) f(x),且對 ∀ n , lim ⁡ x → x 0 f n ( x ) = a n ∀n,\displaystyle\lim_{x\to x_0}f_n(x)=a_n ∀n,x→x0​lim​fn​(x)=an​,則 lim ⁡ n → ∞ a n , lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n,\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) n→∞lim​an​,x→x0​lim​f(x)均存在且相等

(2)連續性:

定理13.9:若函數列 { f n } \{f_n\} {fn​}在區間 I I I上一緻收斂,且每項都連續,則其極限函數 f f f在 I I I上也連續

由于 f ( x ) f(x) f(x)在 x x x的連續性僅與其在 x x x附近的性質有關,故有以下推論

推論:若連續函數列 { f n } \{f_n\} {fn​}在區間 I I I上内閉一緻收斂于 f f f,則 f f f在 I I I上連續

(3)可積性:

定理13.10:若函數列 { f n } \{f_n\} {fn​}在[a,b]上一緻連續,且每項都連續,則 ∫ a b lim ⁡ n → ∞ f n ( x ) d x = lim ⁡ n → ∞ ∫ a b f n ( x ) d x ( 3 ) \int_a^b\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(x)dx=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_a^bf_n(x)dx\qquad(3) ∫ab​n→∞lim​fn​(x)dx=n→∞lim​∫ab​fn​(x)dx(3)

該定理指出:在一緻連續的條件下,極限運算與積分運算可交換順序

注意:當函數列 { f n } \{f_n\} {fn​}收斂于 f ( x ) f(x) f(x)時,一緻連續性是積分運算與極限運算交換順序的充分條件,而不是必要條件

(4)可微性:

定理13.11:設 { f n } \{f_n\} {fn​}為定義在[a,b]上的函數列,若 x 0 ∈ [ a , b ] x_0∈[a,b] x0​∈[a,b]為 { f n } \{f_n\} {fn​}的收斂點, { f n } \{f_n\} {fn​}的每項在[a,b]上均有連續導數,且 { f n ′ } \{f'_n\} {fn′​}在[a,b]上一緻連續,則 d d x ( lim ⁡ n → ∞ f n ( x ) ) = lim ⁡ n → ∞ d d x f n ( x ) ( 4 ) \frac{d}{dx}(\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(x))=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{d}{dx}f_n(x)\qquad(4) dxd​(n→∞lim​fn​(x))=n→∞lim​dxd​fn​(x)(4)

在該定理的條件下,還可推出在[a,b]上 f n ⇉ f   ( n → ∞ ) f_n⇉f\,(n\to\infty) fn​⇉f(n→∞)

該定理指出:在一緻連續的條件下,極限運算與求導運算可交換順序

注意:一緻連續性是極限運算與求導運算交換順序的充分條件,而不是必要條件

由于可微性是局部性質,故有以下推論

推論:設函數列 { f n } \{f_n\} {fn​}定義在區間 I I I上,若 x 0 ∈ [ a , b ] x_0∈[a,b] x0​∈[a,b]為 { f n } \{f_n\} {fn​}的收斂點,且 { f n ′ } \{f'_n\} {fn′​}在[a,b]上一緻連續,則 f f f在 I I I上可導,且 f ′ ( x ) = lim ⁡ n → ∞ f n ′ ( x ) f'(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n'(x) f′(x)=n→∞lim​fn′​(x)

2.函數項級數的性質

(1)連續性:

定理13.12:若函數項級數 ∑ u n ( x ) \sum u_n(x) ∑un​(x)在[a,b]上一緻收斂,且每項都連續,則其和函數在[a,b]上連續

該定理指出:在一緻連續的條件下,(無限項)求和運算與極限運算可交換順序,即: ∑ ( lim ⁡ x → x 0 u n ( x ) ) = lim ⁡ x → x 0 ( ∑ u n ( x ) ) ( 6 ) \sum(\displaystyle\lim_{x\to x_0}u_n(x))=\displaystyle\lim_{x\to x_0}(\sum u_n(x))\qquad(6) ∑(x→x0​lim​un​(x))=x→x0​lim​(∑un​(x))(6)

(2)逐項求導:

定理13.13:若函數項級數 ∑ u n ( x ) \sum u_n(x) ∑un​(x)在[a,b]上一緻收斂,且每項都連續,則 ∑ ∫ a b u n ( x ) d x = ∫ a b ∑ u n ( x ) d x ( 7 ) \sum\int_a^bu_n(x)dx=\int_a^b\sum u_n(x)dx\qquad(7) ∑∫ab​un​(x)dx=∫ab​∑un​(x)dx(7)

一緻收斂的條件可減弱為内閉一緻收斂

該定理指出:在一緻連續的條件下,逐項求導運算與求和運算可交換順序

(3)逐項求積:

定理13.14:若函數項級數 ∑ u n ( x ) \sum u_n(x) ∑un​(x)在[a,b]上每項都有連續的導數, ∑ u n ( x ) \sum u_n(x) ∑un​(x)在[a,b]上收斂,且 ∑ u n ′ ( x ) \sum u_n'(x) ∑un′​(x)在[a,b]上一緻連續,則 ∑ ( d d x u n ( x ) ) = d d x ( ∑ u n ( x ) ) ( 8 ) \sum(\frac{d}{dx}u_n(x))=\frac{d}{dx}(\sum u_n(x))\qquad(8) ∑(dxd​un​(x))=dxd​(∑un​(x))(8)

一緻收斂的條件可減弱為内閉一緻收斂

該定理指出:在一緻連續的條件下,逐項求積運算與求和運算可交換順序

三.幂級數

參見 幂級數 部分

四.傅裡葉級數

參見 傅裡葉級數部分