數學分析 極限(第2,3章)

一.數列極限

1.概念

(1)定義:

(2)無窮小數列:

定理2.1:數列{an}收斂于a的充要條件是{an-a}為無窮小數列

(3)無窮大數列:

2.收斂數列的性質

(1)唯一性(定理2.2):

若{an}收斂,則它隻有1個極限

(2)有界性(定理2.3):

若{an}收斂,則{an}為有界數列,即∃M>0,對∀n∈Z+,都有|an|≤M

(3)保号性(定理2.4):

若 lim ⁡ n → ∞ a n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{a_n} n→∞lim​an​=a>0,則對∀a’∈(0,a)(或a’∈(a,0)),∃N>0,使得當n>N,有an>a’(或an<a’)

推論:設 lim ⁡ n → ∞ a n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{a_n} n→∞lim​an​=a, lim ⁡ n → ∞ b n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{b_n} n→∞lim​bn​=b,a<b,則∃N,使得當n>N,有an<bn

(4)保不等式性(定理2.5):

設{an}和{bn}均為收斂數列,若∃N0>0,使得當n>N0時,有an≤bn,則 lim ⁡ n → ∞ a n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{a_n} n→∞lim​an​≤ lim ⁡ n → ∞ b n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{b_n} n→∞lim​bn​

(5)迫斂性(定理2.6):

設收斂數列{an},{nn}都以a為極限,{cn}滿足:∃N0>0,當n>N0時,有an≤cn≤bn,則{cn}收斂,且 lim ⁡ n → ∞ c n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{c_n} n→∞lim​cn​=a

(6)四則運算法則(定理2.7):

若{an}與{bn}為收斂數列,則{an±bn},{an·bn}也都是收斂數列,且有 lim ⁡ n → ∞ ( a n ± b n ) \displaystyle \lim_{n \to \infty}{(a_n±b_n)} n→∞lim​(an​±bn​)= lim ⁡ n → ∞ a n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{a_n} n→∞lim​an​± lim ⁡ n → ∞ b n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{b_n} n→∞lim​bn​, lim ⁡ n → ∞ ( a n ⋅ b n ) \displaystyle \lim_{n \to \infty}{(a_n·b_n)} n→∞lim​(an​⋅bn​)= lim ⁡ n → ∞ a n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{a_n} n→∞lim​an​· lim ⁡ n → ∞ b n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{b_n} n→∞lim​bn​

特别地,當bn為常數c, lim ⁡ n → ∞ ( a n ± c ) \displaystyle \lim_{n \to \infty}{(a_n±c)} n→∞lim​(an​±c)= lim ⁡ n → ∞ a n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{a_n} n→∞lim​an​±c, lim ⁡ n → ∞ c a n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{ca_n} n→∞lim​can​=c lim ⁡ n → ∞ a n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{a_n} n→∞lim​an​

若再假設bn≠0且 lim ⁡ n → ∞ b n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{b_n} n→∞lim​bn​≠0,則{ a n b n \frac{a_n}{b_n} bn​an​​}也是收斂數列,且有 lim ⁡ n → ∞ a n b n \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} n→∞lim​bn​an​​= lim ⁡ n → ∞ a n lim ⁡ n → ∞ b n \frac{\displaystyle \lim_{n \to \infty}{a_n}}{\displaystyle \lim_{n \to \infty}{b_n}} n→∞lim​bn​n→∞lim​an​​

3.子列:

4.單調數列:

5.數列極限存在的條件

(1)數列收斂的充要條件(定理2.8):

數列{an}收斂的充要條件是:{an}的∀子列都收斂

(2)單調有界收斂定理(定理2.9):

在實數系中,有界的單調數列必有極限

(3)緻密性定理(定理2.10):

引子:任何數列都∃單調子列

緻密性定理:任何有界數列必定有收斂的子列

(4)柯西收斂準則(Cauchy’s Convergence Test;定理2.11):

數列{an}收斂的充要條件是:對∀ ϵ \epsilon ϵ>0,∃N∈Z+,使得當n,m>N時,有|an-am|< ϵ \epsilon ϵ

這個定理從理論上完全解決了數列極限的存在性問題

二.函數極限

1.概念

(1)函數的極限:

①x趨于 ∞ \infty ∞時的極限:

②x趨于x0時的極限:

(2)函數的單側極限:

某些函數在其定義域上某些點左側與右側的解析式不同(如分段函數),或函數在某些點處僅在某1側有定義(如在定義區間斷點處),這時函數在這些點處的極限隻能單側地給出定義

(3)函數的單側極限與極限的關系:

定理3.1: lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)=A⇔ lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0^+}{f(x)} x→x0+​lim​f(x)= lim ⁡ x → x 0 − f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0^-}{f(x)} x→x0−​lim​f(x)=A

常用于說明某些極限不存在,如 lim ⁡ x → 0 + s g n x \displaystyle \lim_{x \to 0^+}{sgnx} x→0+lim​sgnx≠ lim ⁡ x → 0 − s g n x \displaystyle \lim_{x \to 0^-}{sgnx} x→0−lim​sgnx,故 lim ⁡ x → 0 s g n x \displaystyle \lim_{x \to 0}{sgnx} x→0lim​sgnx不存在

(4)非正常極限 ∞ \infty ∞:

2.函數極限的性質

• 以下性質适用于全部6類函數極限或單側極限,證明以 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)為例,其餘5類極限的性質的證明隻需在此基礎上略作修改

(1)唯一性(定理3.2):

若極限 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)存在,則此極限是唯一的

(2)局部有界性(定理3.3):

若 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)存在,則f在x0的某去心鄰域U°(x0)上有界

(3)局部保号性(定理3.4):

若 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)=A>0(或<0),則對∀0<r<A(或0<r<-A),∃U°(x0),使得對∀x∈U°(x0),有f(x)>r>0(或f(x)<-r<0)

(4)保不等式性(定理3.5):

設 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)與 lim ⁡ x → x 0 g ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{g(x)} x→x0​lim​g(x)均存在,且在U°(x0;δ’)上有f(x)≤g(x),則 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)≤ lim ⁡ x → x 0 g ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{g(x)} x→x0​lim​g(x)(記為(3)式)

(5)迫斂性(定理3.6):

夾逼定理(Squeeze Theorem/Sandwich Theorem):設 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)= lim ⁡ x → x 0 g ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{g(x)} x→x0​lim​g(x)=A,且在U°(x0;δ’)上有f(x)≤h(x)≤g(x),則 lim ⁡ x → x 0 h ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{h(x)} x→x0​lim​h(x)=A

(6)四則運算法則(定理3.7):

若極限 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)與 lim ⁡ x → x 0 g ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{g(x)} x→x0​lim​g(x)均存在,則 lim ⁡ x → x 0 [ f ( x ) ± g ( x ) ] \displaystyle \lim_{x \to x_0}{[f(x)±g(x)]} x→x0​lim​[f(x)±g(x)]與 lim ⁡ x → x 0 [ f ( x ) ± g ( x ) ] \displaystyle \lim_{x \to x_0}{[f(x)±g(x)]} x→x0​lim​[f(x)±g(x)]也存在,且 ① lim ⁡ x → x 0 [ f ( x ) ± g ( x ) ] \displaystyle \lim_{x \to x_0}{[f(x)±g(x)]} x→x0​lim​[f(x)±g(x)]= lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)± lim ⁡ x → x 0 g ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{g(x)} x→x0​lim​g(x) ② lim ⁡ x → x 0 [ f ( x ) ⋅ g ( x ) ] \displaystyle \lim_{x \to x_0}{[f(x)·g(x)]} x→x0​lim​[f(x)⋅g(x)]= lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)· lim ⁡ x → x 0 g ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{g(x)} x→x0​lim​g(x)

又若 lim ⁡ x → x 0 g ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{g(x)} x→x0​lim​g(x)≠0,則 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) g ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}} x→x0​lim​g(x)f(x)​存在,且有 ③ lim ⁡ x → x 0 f ( x ) g ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}} x→x0​lim​g(x)f(x)​= lim ⁡ x → x 0 f ( x ) lim ⁡ x → x 0 g ( x ) \frac{\displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)}}{\displaystyle \lim_{x \to x_0}{g(x)}} x→x0​lim​g(x)x→x0​lim​f(x)​

3,函數極限存在的條件

(1)歸結原則(定理3.8):

• 海涅定理對全部6種類型的極限均成立,下面以x→x0的形式為例

海涅定理(Heine Theorem):設f在U°(x0;δ’)上有定義, lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)存在的充要條件是:對∀含于U°(x0;δ’)且以x0為極限的數列{xn}, lim ⁡ n → ∞ f ( n ) \displaystyle \lim_{n \to \infty}{f(n)} n→∞lim​f(n)都存在且相等

(2)加強版歸結原則(定理3.9

• 對4種單側極限,相應的歸結原則可表述為更強的形式,下面以x→ x 0 + x_0^+ x0+​的形式為例

設函數f在某去心右鄰域U°+(x0)有定義, lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0^+}{f(x)} x→x0+​lim​f(x)=A的充要條件是:對∀以x0為極限的遞減數列 x n ⊊ U ° + ( x   0   ) {x_n} \subsetneq {U°_+(x~0~)} xn​⊊U°+​(x 0 ),有 lim ⁡ n → ∞ f ( n ) \displaystyle \lim_{n \to \infty}{f(n)} n→∞lim​f(n)=A

(3)函數的單調有界收斂定理(定理3.10):

• 适用于全部4類單側極限,下面以x→ x 0 + x_0^+ x0+​的形式為例

設f為定義在U°+(x0)上的單調有界函數,則 lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0^+}{f(x)} x→x0+​lim​f(x)存在

(4)柯西準則(Cauchy Criterion,定理3.11):

設函數f在U°(x0;δ’)上有定義, lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)存在的充要條件是:對∀ ϵ \epsilon ϵ>0,∃0<δ<δ’,使對∀x’,x’‘∈U°(x0;δ),有|f(x’)-f(x’’)|< ϵ \epsilon ϵ

相應地, lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)不存在的充要條件為:∃ ϵ 0 \epsilon_0 ϵ0​>0,使對∀δ>0,總有x’,x’‘∈U°(x0;δ),使得|f(x’)-f(x’’)|≥ ϵ 0 \epsilon_0 ϵ0​

4.2個重要極限

(1) lim ⁡ x → 0 s i n x x \displaystyle \lim_{x \to 0}{\frac{sinx}{x}} x→0lim​xsinx​=1:

引子: s i n x sinx sinx< x x x< t a n x tanx tanx(0<x< π 2 \frac{π}{2} 2π​)

證明 lim ⁡ x → 0 s i n x x \displaystyle \lim_{x \to 0}{\frac{sinx}{x}} x→0lim​xsinx​=1:

(2) lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = lim ⁡ x → 0 ( 1 + x ) 1 x = e \displaystyle \lim_{x \to \infty}{(1+\frac{1}{x})^x}=\displaystyle \lim_{x \to 0}{(1+x})^{\frac{1}{x}}=e x→∞lim​(1+x1​)x=x→0lim​(1+x)x1​=e:

數列極限 lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = lim ⁡ n → 0 ( 1 + n ) 1 n = e \displaystyle \lim_{n \to \infty}{(1+\frac{1}{n})^n}=\displaystyle \lim_{n \to 0}{(1+n})^{\frac{1}{n}}=e n→∞lim​(1+n1​)n=n→0lim​(1+n)n1​=e:

函數極限 lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = lim ⁡ x → 0 ( 1 + x ) 1 x = e \displaystyle \lim_{x \to \infty}{(1+\frac{1}{x})^x}=\displaystyle \lim_{x \to 0}{(1+x})^{\frac{1}{x}}=e x→∞lim​(1+x1​)x=x→0lim​(1+x)x1​=e:

三.無窮小量與無窮大量

1.無窮小量:

(1)定義:

無窮小量必定是有界量

(2)無窮小量的性質:

1.兩個(系統類型的)無窮小量的和/差/積仍為無窮小量

\quad 1.1有限個(系統類型的)無窮小量的和/差/積仍為無窮小量

2.無窮小量與有界量的乘積為無窮小量

(3)函數極限的存在性與無窮小量的關系:

lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)⇔f(x)-A是x→x0時的無窮小量

(4)無窮小量階的比較:

(5)等價無窮小在求極限時的應用(定理3.12):

設函數f,g,h在U°(x0)上有定義,且有f(x) ~ g(x)(x→x0),則有 ①若 lim ⁡ x → x 0 [ f ( x ) ⋅ h ( x ) ] \displaystyle \lim_{x \to x_0}{[f(x)·h(x)]} x→x0​lim​[f(x)⋅h(x)]=A,則 lim ⁡ x → x 0 [ g ( x ) ⋅ h ( x ) ] \displaystyle \lim_{x \to x_0}{[g(x)·h(x)]} x→x0​lim​[g(x)⋅h(x)]=A ②若 lim ⁡ x → x 0 h ( x ) f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{\frac{h(x)}{f(x)}} x→x0​lim​f(x)h(x)​=B,則 lim ⁡ x → x 0 h ( x ) g ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{\frac{h(x)}{g(x)}} x→x0​lim​g(x)h(x)​=B

代換時的注意事項:

3.無窮大量:

(1)定義:

(2)無窮大量同樣有階的概念,可以仿照無窮小量給出

(3)無窮小量與無窮大量:

4.漸近線: