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基于使用者投票的排名算法（一）：Delicious和Hacker News
網際網路的出現，意味着"資訊大爆炸"。
使用者擔心的，不再是資訊太少，而是資訊太多。如何從大量資訊之中，快速有效地找出最重要的内容，成了網際網路的一大核心問題。
各種各樣的排名算法，是目前過濾資訊的主要手段之一。對資訊進行排名，意味着将資訊按照重要性依次排列，并且及時進行更新。排列的依據，可以基于資訊本身的特征，也可以基于使用者的投票，即讓使用者決定，什麼樣的資訊可以排在第一位。
下面，我将整理和分析一些基于使用者投票的排名算法，打算分成四個部分連載，今天是第一篇。
一、Delicious
最直覺、最簡單的算法，莫過于按照機關時間内使用者的投票數進行排名。得票最多的項目，自然就排在第一位。
舊版的 Delicious，有一個"熱門書簽排行榜"，就是這樣統計出來的。
它按照"過去 60 分鐘内被收藏的次數"進行排名。每過 60 分鐘，就統計一次。
這個算法的優點是比較簡單、容易部署、内容更新相當快；缺點是排名變化不夠平滑，前一個小時還排在前列的内容，往往第二個小時就一落千丈。
二、Hacker News
Hacker News 是一個網絡社群，可以張貼連結，或者讨論某個主題。
每個文章前面有一個向上的三角形，如果你覺得這個内容很好，就點選一下，投上一票。根據得票數，系統自動統計出熱門文章排行榜。但是，并非得票最多的文章排在第一位，還要考慮時間因素，新文章應該比舊文章更容易得到好的排名。
Hacker News 使用 Paul Graham 開發的 Arc 語言編寫，源碼可以從 arclanguage.org 下載下傳。它的排名算法是這樣實作的：
将上面的代碼還原為數學公式：
其中，
P 表示文章的得票數，減去 1 是為了忽略發帖人的投票。
T 表示距離發帖的時間（機關為小時），加上 2 是為了防止最新的文章導緻分母過小（之是以選擇2，可能是因為從原始文章出現在其他網站，到轉貼至 Hacker News，平均需要兩個小時）。
G 表示"重力因子"（gravityth power），即将文章排名往下拉的力量，預設值為1.8，後文會詳細讨論這個值。
從這個公式來看，決定文章排名有三個因素：
第一個因素是得票數P。
在其他條件不變的情況下，得票越多，排名越高。
從上圖可以看到，有三個同時發表的文章，得票分别為 200 票、60票和 30 票（減 1 後為 199、59和 29），分别以黃色、紫色和藍色表示。在任一個時間點上，都是黃色曲線在最上方，藍色曲線在最下方。
如果你不想讓"高票文章"與"低票文章"的差距過大，可以在得票數上加一個小于 1 的指數，比如(P-1)^0.8。
第二個因素是距離發帖的時間T。
在其他條件不變的情況下，越是新發表的文章，排名越高。或者說，一個文章的排名，會随着時間不斷下降。
從前一張圖可以看到，經過 24 小時之後，所有文章的得分基本上都小于1，這意味着它們都将跌到排行榜的末尾，保證了排名前列的都将是較新的内容。
第三個因素是重力因子G。
它的數值大小決定了排名随時間下降的速度。
從上圖可以看到，三根曲線的其他參數都一樣，G的值分别為1.5、1.8和2.0。G值越大，曲線越陡峭，排名下降得越快，意味着排行榜的更新速度越快。
知道了算法的構成，就可以調整參數的值，以适用你自己的應用程式。
[參考文獻]
* How Hacker News ranking algorithm works
* How to Build a Popularity Algorithm You can be Proud of
基于使用者投票的排名算法（二）：Reddit
Hacker News 排名算法的特點是使用者隻能投贊成票，但是很多網站還允許使用者投反對票。就是說，除了好評以外，你還可以給某篇文章差評。
Reddit 是美國最大的網上社群，它的每個文章前面都有向上和向下的箭頭，分别表示"贊成"和"反對"。使用者點選進行投票，Reddit 根據投票結果，計算出最新的"熱點文章排行榜"。
怎樣才能将贊成票和反對票結合起來，計算出一段時間内最受歡迎的文章呢？如果文章A有 100 張贊成票、5張反對票，文章B有 1000 張贊成票、950張反對票，誰應該排在前面呢？
Reddit 的程式是開源的，使用 Python 語言編寫。排名算法的代碼大緻如下：
這段代碼考慮了這樣幾個因素：
（1）文章的新舊程度t
t = 發貼時間 - 2005 年 12 月 8 日7:46:43
t 的機關為秒，用 unix 時間戳計算。不難看出，一旦文章發表，t就是固定值，不會随時間改變，而且文章越新，t值越大。至于 2005 年 12 月 8 日，應該是 Reddit 成立的時間。
（2）贊成票與反對票的差x
x = 贊成票 - 反對票
（3）投票方向y
y 是一個符号變量，表示對文章的總體看法。如果贊成票居多，y就是 +1；如果反對票居多，y就是-1；如果贊成票和反對票相等，y就是0。
（4）文章的受肯定程度z
z 表示贊成票超過反對票的數量。如果贊成票少于或等于反對票，那麼z就等于1。
結合以上幾個變量，Reddit 的最終得分計算公式如下：
這個公式可以分成兩個部分來讨論：
（一）
這個部分表示，贊成票超過反對票的數量越多，得分越高。
需要注意的是，這裡用的是以 10 為底的對數，意味着z=10可以得到 1 分，z=100可以得到 2 分。也就是說，前 10 個投票人與後 90 個投票人（乃至再後面 900 個投票人）的權重是一樣的，即如果一個文章特别受到歡迎，那麼越到後面投贊成票，對得分越不會産生影響。
當反對票超過或等于贊成票，z=1，是以這個部分等于0，也就是不産生得分。
（二）
這個部分表示，t越大，得分越高，即新文章的得分會高于老文章。它起到自動将老文章的排名往下拉的作用。
分母的 45000 秒，等于 12.5 個小時，也就是說，後一天的文章會比前一天的文章多得 2 分。結合前一部分，可以得到結論，如果前一天的文章在第二天還想保持原先的排名，在這一天裡面，它得到的淨贊成票必須增加 100 倍。
y 的作用是用來産生正分和負分。當贊成票超過反對票時，得分為正；當贊成票少于反對票時，得分為負；當兩者相等，得分為0。這就保證了得到大量淨贊成票的文章，會排在前列；得到大量淨反對票的文章，會排在最後。
（三）
這種算法的一個問題是，對于那些有争議的文章（贊成票和反對票非常接近），它們不可能排到前列。假定同一時間有兩個文章發表，文章A有 1 張贊成票（發帖人投的）、0張反對票，文章B有 1000 張贊成票、1000張反對票，那麼A的排名會高于B，這顯然不合理。
結論就是，Reddit 的排名，基本上由發帖時間決定，超級受歡迎的文章會排在最前面，一般性受歡迎的文章、有争議的文章都不會很靠前。這決定了 Reddit 是一個符合大衆口味的社群，不是一個很激進、可以展示少數派想法的地方。
[參考資料]
* How Reddit ranking algorithms work
基于使用者投票的排名算法（三）：Stack Overflow
Reddit 排名算法的特點是，使用者可以投贊成票，也可以投反對票。也就是說，除了時間因素以外，隻要考慮兩個變量就夠了。
但是，還有一些特定用途的網站，必須考慮更多的因素。世界排名第一的程式員問答社群 Stack Overflow，就是這樣一個網站。
你在上面提出各種關于程式設計的問題，等待别人回答。通路者可以對你的問題進行投票（贊成票或反對票），表示這個問題是不是有價值。
一旦有人回答了你的問題，其他人也可以對這個回答投票（贊成票或反對票）。根據投票結果，系統自動找出最佳回答。
排名算法的作用是，找出某段時間内的熱點問題，即哪些問題最被關注、得到了最多的讨論。
在 Stack Overflow 的頁面上，每個問題前面有三個數字，分别表示問題的得分、回答的數目和該問題的浏覽次數。以這些變量為基礎，就可以設計算法了。
創始人之一的 Jeff Atwood，曾經在幾年前，公布過排名得分的計算公式。
寫成 php 代碼，就是下面這樣：
各個算法變量的含義如下：
（1）Qviews（問題的浏覽次數）
某個問題的浏覽次數越多，就代表越受關注，得分也就越高。這裡使用了以 10 為底的對數，用意是當通路量越來越大，它對得分的影響将不斷變小。
（2）Qscore（問題得分）和 Qanswers（回答的數量）
首先，Qscore（問題得分）= 贊成票-反對票。如果某個問題越受到好評，排名自然應該越靠前。
Qanswers 表示回答的數量，代表有多少人參與這個問題。這個值越大，得分将成倍放大。這裡需要注意的是，如果無人回答，Qanswers 就等于0，這時 Qscore 再高也沒用，意味着再好的問題，也必須有人回答，否則進不了熱點問題排行榜。
（3）Ascores（回答得分）
一般來說，"回答"比"問題"更有意義。這一項的得分越高，就代表回答的品質越高。
但是我感覺，簡單加總的設計還不夠全面。這裡有兩個問題。首先，一個正确的回答勝過一百個無用的回答，但是，簡單加總會導緻，1個得分為 100 的回答與 100 個得分為 1 的回答，總得分相同。其次，由于得分會出現負值，是以那些特别差的回答，會拉低正确回答的得分。
（4）Qage（距離問題發表的時間）和 Qupdated（距離最後一個回答的時間）
改寫一下，可以看得更清楚：
Qage 和 Qupdated 的機關都是秒。如果一個問題的存在時間越久，或者距離上一次回答的時間越久，Qage 和 Qupdated 的值就相應增大。
也就是說，随着時間流逝，這兩個值都會越變越大，導緻分母增大，是以總得分會越來越小。
（５）總結
Stack Overflow 熱點問題的排名，與參與度（Qviews 和 Qanswers）和品質（Qscore 和 Ascores）成正比，與時間（Qage 和 Qupdated）成反比。
基于使用者投票的排名算法（四）：牛頓冷卻定律
這個系列的前三篇，介紹了 Hacker News，Reddit 和 Stack Overflow 的排名算法。
今天，讨論一個更一般的數學模型。
這個系列的每篇文章，都是可以分開讀的。但是，為了保證所有人都在同一頁上，我再說一下，到目前為止，我們用不同方法，企圖解決的都是同一個問題：根據使用者的投票，決定最近一段時間内的"熱文排名"。
你可能會覺得，這是一個全新的課題，伴随着網際網路而産生，需要全新的方法來解決。但是，實際上不是。我們可以把"熱文排名"想象成一個"自然冷卻"的過程：
（1）任一時刻，網站中所有的文章，都有一個"目前溫度"，溫度最高的文章就排在第一位。
（2）如果一個使用者對某篇文章投了贊成票，該文章的溫度就上升一度。
（3）随着時間流逝，所有文章的溫度都逐漸"冷卻"。
投票排名算法
這樣假設的意義，在于我們可以照搬實體學的冷卻定律，使用現成的公式，建立"溫度"與"時間"之間的函數關系，輕松建構一個"指數式衰減"（Exponential decay）的過程。
偉大的實體學家牛頓，早在 17 世紀就提出了溫度冷卻的數學公式，被後人稱作"牛頓冷卻定律"（Newton's Law of Cooling）。我們就用這個定律建構排名算法。
"牛頓冷卻定律"非常簡單，用一句話就可以概況：
物體的冷卻速度，與其目前溫度與室溫之間的溫差成正比。
寫成數學公式就是：
其中，
- T (t)是溫度（T）的時間（t）函數。微積分知識告訴我們，溫度變化（冷卻）的速率就是溫度函數的導數T'(t)。
- H 代表室溫，T(t)-H就是目前溫度與室溫之間的溫差。由于目前溫度高于室溫，是以這是一個正值。
- 常數α（α>0）表示室溫與降溫速率之間的比例關系。前面的負号表示降溫。不同的物質有不同的α值。
這是一個微分方程，為了計算目前溫度，需要求出T(t)的函數表達式。
第一步，改寫方程，然後等式兩邊取積分。
第二步，求出這個積分的解（c為常數項）。
第三步，假定在時刻t0，該物體的溫度是T(t0)，簡寫為T0。代入上面的方程，得到
第四步，将上一步的C代入第二步的方程。
假定室溫H為 0 度，即所有物體最終都會"冷寂"，方程就可以簡化為
上面這個方程，就是我們想要的最終結果：
本期溫度 = 上一期溫度 x exp (-(冷卻系數) x 間隔的小時數)
将這個公式用在"排名算法"，就相當于（假定本期沒有增加淨贊成票）
本期得分 = 上一期得分 x exp (-(冷卻系數) x 間隔的小時數)
其中，"冷卻系數"是一個你自己決定的值。如果假定一篇新文章的初始分數是 100 分，24小時之後"冷卻"為 1 分，那麼可以計算得到"冷卻系數"約等于0.192。如果你想放慢"熱文排名"的更新率，"冷卻系數"就取一個較小的值，否則就取一個較大的值。
[參考文獻]
Rank Hotness With Newton's Law of Cooling
基于使用者投票的排名算法（五）：威爾遜區間
迄今為止，這個系列都在讨論，如何給出"某個時段"的排名，比如"過去 24 小時最熱門的文章"。
但是，很多場合需要的是"所有時段"的排名，比如"最受使用者好評的産品"。
這時，時間因素就不需要考慮了。這個系列的最後兩篇，就研究不考慮時間因素的情況下，如何給出排名。
一種常見的錯誤算法是：
得分 = 贊成票 - 反對票
假定有兩個項目，項目A是 60 張贊成票，40張反對票，項目B是 550 張贊成票，450張反對票。請問，誰應該排在前面？按照上面的公式，B會排在前面，因為它的得分（550 - 450 = 100）高于A（60 - 40 = 20）。但是實際上，B的好評率隻有 55%（550 / 1000），而A為 60%（60 / 100），是以正确的結果應該是A排在前面。
Urban Dictionary 就是這種錯誤算法的執行個體。
另一種常見的錯誤算法是
得分 = 贊成票 / 總票數
如果"總票數"很大，這種算法其實是對的。問題出在如果"總票數"很少，這時就會出錯。假定A有 2 張贊成票、0張反對票，B有 100 張贊成票、1張反對票。這種算法會使得A排在B前面。這顯然錯誤。
Amazon 就是這種錯誤算法的執行個體。
那麼，正确的算法是什麼呢？
我們先做如下設定：
（1）每個使用者的投票都是獨立事件。
（2）使用者隻有兩個選擇，要麼投贊成票，要麼投反對票。
（3）如果投票總人數為n，其中贊成票為k，那麼贊成票的比例p就等于k/n。
如果你熟悉統計學，可能已經看出來了，p服從一種統計分布，叫做"兩項分布"（binomial distribution）。這很重要，下面馬上要用到。
我們的思路是，p越大，就代表這個項目的好評比例越高，越應該排在前面。但是，p的可信性，取決于有多少人投票，如果樣本太小，p就不可信。好在我們已經知道，p服從"兩項分布"，是以我們可以計算出p的置信區間。所謂"置信區間"，就是說，以某個機率而言，p會落在的那個區間。比如，某個産品的好評率是 80%，但是這個值不一定可信。根據統計學，我們隻能說，有 95% 的把握可以斷定，好評率在 75% 到 85% 之間，即置信區間是[75%， 85%]。
這樣一來，排名算法就比較清晰了：
第一步，計算每個項目的"好評率"（即贊成票的比例）。
第二步，計算每個"好評率"的置信區間（以 95% 的機率）。
第三步，根據置信區間的下限值，進行排名。這個值越大，排名就越高。
這樣做的原理是，置信區間的寬窄與樣本的數量有關。比如，A有 8 張贊成票，2張反對票；B有 80 張贊成票，20張反對票。這兩個項目的贊成票比例都是 80%，但是B的置信區間（假定[75%， 85%]）會比A（假定[70%， 90%]）窄得多，是以B的置信區間的下限值（75%）會比A（70%）大，是以B應該排在A前面。
置信區間的實質，就是進行可信度的修正，彌補樣本量過小的影響。如果樣本多，就說明比較可信，不需要很大的修正，是以置信區間會比較窄，下限值會比較大；如果樣本少，就說明不一定可信，必須進行較大的修正，是以置信區間會比較寬，下限值會比較小。
二項分布的置信區間有多種計算公式，最常見的是"正态區間"（Normal approximation interval），教科書裡幾乎都是這種方法。但是，它隻适用于樣本較多的情況（np > 5 且 n (1 − p) > 5），對于小樣本，它的準确性很差。
1927年，美國數學家 Edwin Bidwell Wilson 提出了一個修正公式，被稱為"威爾遜區間"，很好地解決了小樣本的準确性問題。
在上面的公式中，
表示樣本的"贊成票比例"，n表示樣本的大小，
表示對應某個置信水準的z統計量，這是一個常數，可以通過查表或統計軟體包得到。一般情況下，在 95% 的置信水準下，z統計量的值為1.96。
威爾遜置信區間的均值為
它的下限值為
可以看到，當n的值足夠大時，這個下限值會趨向
。如果n非常小（投票人很少），這個下限值會大大小于
。實際上，起到了降低"贊成票比例"的作用，使得該項目的得分變小、排名下降。
Reddit 的評論排名，目前就使用這個算法。
[參考文獻]
* How Not To Sort By Average Rating
基于使用者投票的排名算法（六）：貝葉斯平均
上一篇介紹了"威爾遜區間"，它解決了投票人數過少、導緻結果不可信的問題。
舉例來說，如果隻有 2 個人投票，"威爾遜區間"的下限值會将贊成票的比例大幅拉低。這樣做固然保證了排名的可信性，但也帶來了另一個問題：排行榜前列總是那些票數最多的項目，新項目或者冷門的項目，很難有出頭機會，排名可能會長期靠後。
以 IMDB 為例，它是世界最大的電影資料庫，觀衆可以對每部電影投票，最低為 1 分，最高為 10 分。
系統根據投票結果，計算出每部電影的平均得分。然後，再根據平均得分，排出最受歡迎的前 250 名的電影。
這裡就有一個問題：熱門電影與冷門電影的平均得分，是否真的可比？舉例來說，一部好萊塢大片有 10000 個觀衆投票，一部小成本的文藝片隻有 100 個觀衆投票。這兩者的投票結果，怎麼比較？如果使用"威爾遜區間"，後者的得分将被大幅拉低，這樣處理是否公平，能不能反映它們真正的品質？
一個合理的思路是，如果要比較兩部電影的好壞，至少應該請同樣多的觀衆觀看和評分。既然文藝片的觀衆人數偏少，那麼應該設法為它增加一些觀衆。
在排名頁面的底部，IMDB 給出了它的計算方法。
- WR， 權重得分（weighted rating）。
- R，該電影的使用者投票的平均得分（Rating）。
- v，該電影的投票人數（votes）。
- m，排名前 250 名的電影的最低投票數（現在為 3000）。
- C， 所有電影的平均得分（現在為6.9）。
仔細研究這個公式，你會發現，IMDB 為每部電影增加了 3000 張選票，并且這些選票的評分都為6.9。這樣做的原因是，假設所有電影都至少有 3000 張選票，那麼就都具備了進入前 250 名的評選條件；然後假設這 3000 張選票的評分是所有電影的平均得分（即假設這部電影具有平均水準）；最後，用現有的觀衆投票進行修正，長期來看，v/(v+m)這部分的權重将越來越大，得分将慢慢接近真實情況。
這樣做拉近了不同電影之間投票人數的差異，使得投票人數較少的電影也有可能排名前列。
把這個公式寫成更一般的形式：
- C，投票人數擴充的規模，是一個自行設定的常數，與整個網站的總體使用者人數有關，可以等于每個項目的平均投票數。
- n，該項目的現有投票人數。
- x，該項目的每張選票的值。
- m，總體平均分，即整個網站所有選票的算術平均值。
這種算法被稱為"貝葉斯平均"（Bayesian average）。因為某種程度上，它借鑒了"貝葉斯推斷"（Bayesian inference）的思想：既然不知道投票結果，那就先估計一個值，然後不斷用新的資訊修正，使得它越來越接近正确的值。
在這個公式中，m（總體平均分）是"先驗機率"，每一次新的投票都是一個調整因子，使總體平均分不斷向該項目的真實投票結果靠近。投票人數越多，該項目的"貝葉斯平均"就越接近算術平均，對排名的影響就越小。
是以，這種方法可以給一些投票人數較少的項目，以相對公平的排名。
"貝葉斯平均"也有缺點，主要問題是它假設使用者的投票是正态分布。比如，電影A有 10 個觀衆評分，5個為五星，5個為一星；電影B也有 10 個觀衆評分，都給了三星。這兩部電影的平均得分（無論是算術平均，還是貝葉斯平均）都是三星，但是電影A可能比電影B更值得看。
解決這個問題的思路是，假定每個使用者的投票都是獨立事件，每次投票隻有n個選項可以選擇，那麼這就服從"多項分布"（Multinomial distribution），就可以結合貝葉斯定理，計算該分布的期望值。由于這涉及複雜的統計學知識，這裡就不深入了，感興趣的朋友可以繼續閱讀 William Morgan 的How to rank products based on user input。