相機畸變模型
在前一篇文章中有提到，應該比較好了解。
我們可以看出在上圖中可以分以下幾個坐标系：
① 像機坐标系Oc
② 圖像像素坐标系Oi
③ 世界坐标系Ow
④ 實際圖像實體坐标系Od
⑤ 理想圖像實體坐标系Ou
2、畸變量
此時，畸變量可分為在X方向和Y方向上，這種畸變量我們隻考慮了徑向畸變，其他畸變右以忽略不計，徑向畸變本身是有一定的線性關系的，下面畸變模型的講解時也會說到：
Ｄx：x方向畸變量
Ｄy：y方向畸變量
3、實際圖實體坐标系與像素坐标系的關系（基本關系）
dx: x方向的像素距（每個像素在x方向的長度）
dy: y方向的像素距（每個像素在y方向的長度）
4、基本公式（線上性标定的基礎上）
5、畸變的總體表示
徑向畸變Dr
離心畸變Dt
薄棱鏡畸變Dp
6、三種畸變的數學模型
徑向畸變及其規律（徑向限制）：
離心畸變：
薄棱鏡畸變：
總畸變：
畸變系數：
徑向畸變：k1
離心畸變：p1, p2
薄棱徑畸變：s1, s2
7、模型參數
内參數：
焦比：fu, fv
圖像中心（主點）坐标：u0,v0
畸變系數： k1, p1, p2, s1, s2
外參數：
平移矢量：Ｔ
旋轉矩陣：Ｒ
典型标定方法
利用像機畸變模型建立限制方程
确定優化目标函數
以非線性優化方法求解
缺點：
優化程式計算複雜，速度慢
标定的結果取決于初始值
8、兩步标定法正式開始
1987年由Tsai提出
第一步：求除tz外的所有外參數
利用徑向排列限制（RAC）
線性求解
第二步：求其餘參數
非線性優化
9、兩步法的前提
假設：
u0,v0已知
隻考慮二階徑向畸變
主點既是圖像中心又是徑向畸變中心
10、公式推導
得到以下公式：
11、徑向限制公式
上面已經求出：
綜合可得：
乘開：
12、第一步
1、求中間變量
為了友善表示與計算，用參數将變量代替：
2、 求|ty|
4、求tx
5、求R：
6、确定ty符号:
設ty>0, 求其它參數
用遠離圖像中心的特征點計算:
假設條件正确:
xci與ui-u0同号
yci與vi-v0同号
剩餘參數:fu,fv, tz, k1
限制方程：
13、第二步
剩餘參數:fu,fv, tz, k1
已知：
求：
方法：非線性優化
确定初始值：
k1=0, dv=1
忽略非線性畸變，求解fv和tz
14、U0，V0的标定
直接光學方法
變焦距法
徑向排列限制法
直接光學法
用一束雷射照射像機鏡頭
在光路上放一張有孔的紙
使雷射的入射光線與反射光線重合
用像機攝取包含雷射光斑的圖象
光斑的中心坐标即為光心坐标
調整困難但精度較高
變焦距法
條件：光心與鏡頭的縮放中心重合
實作：
不同距離分别對多個特征點成像
每個特征點一個線性方程
徑向排列限制法
利用共面标定闆，取zwi=0
非線性優化求解
15、小小總結一下：
前面标定方法共性：
已知特征點二維圖像坐标與三維空間坐标
需要标定參照物
統稱：傳統标定方法
優點：适用任意錄影機模型，标定精度高
不足：需标定參照物，某些應用中難以實作