歐拉恒等式被稱為數學中最美麗的公式之一,它把數學中幾個看似沒有聯系的數:圓周率π、自然常數e、虛數機關i、0和1結合到了一個式子中。
第一次看到這個式子時雖然一臉懵逼,但還是被它的完美震撼到了。其實要推出歐拉公式,首先要知道泰勒展開定理,即一個函數f(x)如果是一個初等函數,且在x=0處鄰域(-r,r)記憶體在任意階導數,那麼f(x)在x=0處可以展開成幂級數,展開式為:
通過泰勒展開,得到
當e的指數x替換成ix,即實數變量變成了純虛數變量時,可寫出:
是以結合虛數機關和上面的正餘弦函數展開式就得到了一般形式的歐拉公式:
當x=π時,因為cosπ=-1,sinπ=0,是以就得到了上述的歐拉恒等式。這個公式在數學和實體中用處極大,它将三角函數形式的正弦波統一成了簡單的指數形式,它描繪的是在複平面上做圓周運動的點随着時間的改變,這個點在時間軸上就成了一條螺旋線。如果隻看它的實部,也就是螺旋線在左側的投影,就是一個最基礎的餘弦函數,而右側投影則是一個帶虛部的正弦函數。現代實體學告訴我們,宏觀宇宙的構成本質是旋轉的,帶有圓周運動和自旋性;微觀世界也是旋轉的,也帶有圓周運動和自旋性,而歐拉公式描述的核心正是旋轉與頻率。
最後有個問題 : 當 x = π /2 時 , 你發現了另一個特别的恒等式嗎 ?