[Leetcode] 279. Perfect Squares 解題報告

題目：

Given a positive integer n, find the least number of perfect square numbers (for example, 

1, 4, 9, 16, ...

) which sum to n.

For example, given n = 

12

, return 

3

 because 

12 = 4 + 4 + 4

; given n = 

13

, return 

2

 because 

13 = 4 + 9

.

思路：

1、動态規劃：設dp[i]表示i的最小平方和數，則狀态轉移方程為：dp[i] = min(dp[i - j * j]) + 1 (i - j * j >= 0)。該算法的時間複雜度是O(n^(3/2))，空間複雜度是O(n)。

2、四平方和定理：在網上看到一個非常神奇的四平方和定理，說每個正整數均可表示為4個整數的平方和。另外還說一個數如果有因子4，那麼去掉4之後并不影響其平方和性質。如果一個數除以8餘7，那麼其是由4個平方和構成。利用這些性質，可以寫出一個非常高效的算法。同感慨數學的力量真是屌！不過程式猿們也不要捉急，如果能bug free的寫出來動态規劃，相信面試官也會願意放過的，畢竟面試官如果不是數學專業出身，也未必聽過這個定理。

代碼：

1、動态規劃：

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0, dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; ++i) {
            for(int j = 1; j <= sqrt(i); ++j) {
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};
           

2、四平方和定理：

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        while(n % 4 == 0) {
            n /= 4;
        }  
        if(n % 8 == 7) {
            return 4; 
        }
        for(int a = 0; a * a <= n; ++a) {  
            int b = sqrt(n - a * a);
            if(a * a + b * b == n) {  
                return (a != 0) + (b != 0);
            }  
        }  
        return 3;  
    }
};