陶哲軒點破天機：不懂數學别想靠ChatGPT飛升！

編輯：Aeneas 好困

【新智元導讀】沖鋒在AI輔助數學研究第一線的陶哲軒，近日又有「神總結」：ChatGPT提升的，是我們在編碼、圖表等次要任務上的能力；而真要搞好數學研究，基礎不紮實的話，AI也是沒用的。

使用ChatGPT一年半了，陶哲軒的感想如何？

最近，一直沖鋒在探索AI輔助研究功能前線的數學大神陶哲軒，總結了ChatGPT對自己數學研究過程的幫助。

有趣的是，他發現AI輔助在數學方面的用處倒是有限，但它大大提升的，是自己在次要任務上的能力，比如編碼和制作圖表。

是以說，想要搞好數學研究，還是需要紮實的數學基礎，純靠AI是沒用的。

數學不好的人，其實AI的幫助可能也沒那麼大

陶哲軒表示，使用#Python的matplotlib.pyplot庫的一個額外收獲是，自己現在可以相對輕松地建立定性圖表，來說明更多非正式關系了。

在以前，他隻能用文字或者草草繪制的手寫草圖來表達這種非正式關系。

為此，陶哲軒發現了一個有效的工作流：向ChatGPT請求一個簡化示例的代碼，然後自己調整和修改代碼，直到輸出符合預期為止。

比如，通過下面這幾輪對話，在幾分鐘内他就得到了自己想要的圖表。

最後陶哲軒總結道，AI輔助在自己主要研究的數學領域倒是用處有限，但它大大提高了自己在編碼、制作圖表這類次要任務中的能力，同時也将自己在一般任務中的能力，提升到了至少是初學者的水準。

同時他也點出，在自己看來，對于那些精通程式設計但并不那麼精通數學的人來說，AI輔助可能就不會起到這麼大的作用。

陶哲軒和ChatGPT的對話，具體如下——

https://chatgpt.com/share/064ae58d-7400-4589-a027-d66a8a8a236e

陶哲軒問：「在Python中，我知道如何使用pyplot軟體包制作圖形的單個圖像。有什麼方法可以讓我用Python制作多個圖形的幻燈片或其他動畫圖像嗎？比如，制作一個幻燈片，展示函數$x$, $x^2$, $x^3$, $x^4$對于$x \in [0,1]$的圖形。」

ChatGPT回答說：「是的，你可以使用matplotlib包中的matplotlib.animation子產品，在Python中建立多個圖形的幻燈片或動畫圖像。 」

接下來，ChatGPT就給出了建立該函數動畫的具體步驟，詳細給出了代碼——

1. Install matplotlib if you haven't already:

pip install matplotlib           

2. Use the following code to create an animation:

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

import matplotlib.animation as animation




# Define the range for x

x = np.linspace(0, 1, 400)




# Define the functions

functions = [lambda x: x, lambda x: x**2, lambda x: x**3, lambda x: x**4]




# Create a figure and axis

fig, ax = plt.subplots()

line, = ax.plot(x, functions[0](x))




# Set axis labels and title

ax.set_xlabel('x')

ax.set_ylabel('f(x)')

ax.set_title('Animated Functions')




# Initialize the animation function

def init():

    line.set_ydata([np.nan] * len(x))

    return line,




# Update the animation function

def update(frame):

    line.set_ydata(functions[frame](x))

    ax.set_title(f'Function: $x^{frame+1}#39;)

    return line,




# Create the animation

ani = animation.FuncAnimation(

    fig, update, frames=len(functions), init_func=init, blit=True, repeat=True, interval=1000

)




# Save the animation as a gif

ani.save('animated_functions.gif', writer='imagemagick')




plt.show()
           

同時， ChatGPT還給出了相應解釋：首先要導入必要子產品，比如導入numpy進行數值運算，導入pyplot進行繪圖，導入animation建立動畫。

然後需要定義x的範圍，建立一個從0到1的數組x，包含400個點。

接着需要定義函數、建立圖形和坐标軸、初始化動畫函數等等。

ChatGPT給出的答案很好，但每個動畫中隻能顯示一個函數。

為了達到目的，陶哲軒進一步提問道：「如果我想讓每個動畫顯示兩個函數呢？例如，第一幀顯示$x$和$x^2$，第二幀顯示$x^2$和$x^3$，第三幀顯示$x^3$和$x^4$。」

ChatGPT表示：「要在動畫的每一幀顯示兩個函數，可以修改代碼，為每一幀繪制兩條線。」

接下來，ChatGPT還是給出了詳細的代碼。

1. Install matplotlib if you haven't already:

pip install matplotlib           

2. Use the following code to create the animation with two functions per frame:

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

import matplotlib.animation as animation




# Define the range for x

x = np.linspace(0, 1, 400)




# Define the functions

functions = [lambda x: x, lambda x: x**2, lambda x: x**3, lambda x: x**4]




# Create a figure and axis

fig, ax = plt.subplots()

line1, = ax.plot(x, functions[0](x), label='$x#39;)

line2, = ax.plot(x, functions[1](x), label='$x^2#39;)




# Set axis labels and title

ax.set_xlabel('x')

ax.set_ylabel('f(x)')

ax.legend()

ax.set_title('Animated Functions')




# Initialize the animation function

def init():

    line1.set_ydata([np.nan] * len(x))

    line2.set_ydata([np.nan] * len(x))

    return line1, line2




# Update the animation function

def update(frame):

    line1.set_ydata(functions[frame](x))

    line2.set_ydata(functions[frame+1](x))

    ax.legend([f'$x^{frame+1}#39;, f'$x^{frame+2}#39;])

    return line1, line2




# Create the animation

ani = animation.FuncAnimation(

    fig, update, frames=len(functions)-1, init_func=init, blit=True, repeat=True, interval=1000

)




# Save the animation as a gif

ani.save('animated_double_functions.gif', writer='imagemagick')




plt.show()           

随後ChatGPT照例給出了詳細解釋：為了在「0,1」的區間上建立（$x$和$x^2$，$x^2$和$x^3$，$x^3$和$x^4$）的函數，需要定義x的範圍、定義函數、建立圖形和坐标軸、初始化動畫函數等。

陶哲軒表示：「這樣就差不多可以了，但圖例似乎無法随動畫更新，它會停留在x^3和 x^4。有沒有辦法在每一幀都更新圖例？」

針對這個問題，ChatGPT給出了對策，就是通過清除現有圖例并建立新的圖例，來更新每一幀的圖例。

随後，ChatGPT貼心地給出了可以正确更新圖例的修改後的代碼。

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

import matplotlib.animation as animation




# Define the range for x

x = np.linspace(0, 1, 400)




# Define the functions

functions = [lambda x: x, lambda x: x**2, lambda x: x**3, lambda x: x**4]




# Create a figure and axis

fig, ax = plt.subplots()

line1, = ax.plot(x, functions[0](x), label='$x#39;)

line2, = ax.plot(x, functions[1](x), label='$x^2#39;)




# Set axis labels and title

ax.set_xlabel('x')

ax.set_ylabel('f(x)')

ax.set_title('Animated Functions')




# Initialize the animation function

def init():

    line1.set_ydata([np.nan] * len(x))

    line2.set_ydata([np.nan] * len(x))

    return line1, line2




# Update the animation function

def update(frame):

    line1.set_ydata(functions[frame](x))

    line2.set_ydata(functions[frame+1](x))

    ax.legend([f'$x^{frame+1}#39;, f'$x^{frame+2}#39;])

    return line1, line2




# Create the animation

ani = animation.FuncAnimation(

    fig, update, frames=len(functions)-1, init_func=init, blit=True, repeat=True, interval=1000

)




# Save the animation as a gif

ani.save('animated_double_functions.gif', writer='imagemagick')




plt.show()           

ChatGPT解釋道：更新函數中的ax.legend()調用，就可以清除現有圖例，并且使用每幀的新标簽進行更新了。這樣就可以確定，圖例反映的是目前顯示函數的功能。

陶哲軒繼續提問——

「我想讓Python繪制一個用數字描述，但用字元串标注的函數圖。例如，我想繪制這樣一幅圖：橫軸上标有『今天』、『下周』和『明年』，分别代表x=1、x=2和x=3的位置，縱軸上标有『初級』、『中級』和『專家』，分别代表y=1、y=4和y=9的位置（是以縱向标簽的間距并不相等），要繪制的圖形是抛物線y=x^2的圖形。如何繪制？」

ChatGPT回答：「要繪制橫軸和縱軸用字元串标注但與特定數值相對應的圖表，可以使用matplotlib庫并自定義刻度标簽。」

1. Install matplotlib if you haven't already:

pip install matplotlib           

2. Use the following code to create the plot:

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt




# Define the numerical values for the x and y positions

x_values = [1, 2, 3]

y_values = [1, 4, 9]




# Define the corresponding string labels for x and y axes

x_labels = ["Today", "Next week", "Next year"]

y_labels = ["Beginner", "Intermediate", "Expert"]




# Define the function to be plotted (y = x^2)

x = np.linspace(1, 3, 100)

y = x**2




# Create a figure and axis

fig, ax = plt.subplots()




# Plot the function

ax.plot(x, y, label='$y=x^2#39;)




# Set the x and y axis labels

ax.set_xlabel('Time')

ax.set_ylabel('Level')




# Set the x and y axis tick positions and labels

ax.set_xticks(x_values)

ax.set_xticklabels(x_labels)

ax.set_yticks(y_values)

ax.set_yticklabels(y_labels)




# Add a legend

ax.legend()




# Set the title

ax.set_title('Parabola $y=x^2$ with Custom Axis Labels')




# Display the plot

plt.show()           

并且給出了相應解釋。

至此，陶哲軒的問題就被ChatGPT完美解決了。

網友：圖表存在「幻覺」

在陶哲軒的評論區，有網友指出了此圖的準确性有問題：兩條線之間的山谷意味着什麼？那裡的相對位移應該更大才對。

在他看來，用手繪塗鴉來表達這類非正式想法是比較合适的，可以讓形式與内容相比對，避免了使用和标準化這些AI工具過程中的缺點。

對于這名網友的「找茬」，陶哲軒進行了詳盡的回複。

他解釋道，如果自己想要傳達複雜關系的圖像，手繪圖是很不友善的，一方面原因是自己不擅長手繪，另一方面，也是因為無法很輕松地編輯出一個草圖，讓它部分地傳達自己的想法。

而借助Python，自己就可以輕松地循環，進行十幾次嘗試，然後找到一個能捕捉到自己想要的細微差别的方法了。

例如，他确實有意讓初級領域和次級領域之間的山谷在AI的幫助下獲得更高的推動力（這個山谷代表着兩個相鄰的領域）。

在陶哲軒看來，純數學是自己的主要領域，而計算機程式設計是次要技能；自己對于設定和安裝機器學習軟體包并沒有直接經驗，但後者與這兩個專業相鄰，是以他會把它放在這個圖的中間位置。

而對于圖表不夠精确這個問題，陶哲軒解釋道，數軸上沒有數字标簽，應該就已經意味着這是一張非正式圖像。

或者，他建議我們可以建立其他信号，來更加強調圖形的非正式性，比如讓線條更厚、更模糊，同時選擇不那麼「專業」的字型。

這些在Python中是很容易做到的，但如果要手工完成，就隻能重繪圖像了。

同時，針對這位網友的建議，陶哲軒也表示，在使用ChatGPT/Python之前，自己的确也提前手繪了草圖。

随後，陶哲軒又在圖表上進行了一些調整，添加了一些不建議使用AI輔助的情況：在幾乎沒有先驗知識的情況下嘗試用AI進行中等難度的任務，或者在隻有中等先驗知識的情況下嘗試處理專家難度的任務。

陶哲軒表示，在這種特殊情況下，此類更新在手繪圖像上是可行的，并且隻需要添加新繪圖就可以了，而不是删除或修改現有繪圖。

但他強調，對于許多其他類型的修訂，使用手繪圖像作為主圖像來源會很不友善。

「資深使用者」陶哲軒

其實早在2023年3月，陶哲軒就開始探索如何将AI加入到自己的工作流裡了。

起初，陶哲軒想讓ChatGPT根據他的描述直接得到「Kummer定理」這個名字。不過，AI給出的結果卻是一個Legendre公式。好在，後續可以根據這個線索，通過傳統搜尋引擎輕松找到答案。

據此，陶哲軒認為，AI在數學中的作用是提供一個初步解答，然後可以通過更傳統的方法進行細化。

接下來，陶哲軒從原理上對比了傳統計算機軟體工具和AI工具，發現二者的工作流極為不同。

例如，對于傳統的LaTeX到PDF編譯器來說，隻要輸入的代碼正确，那麼一定可以得到一份完美的PDF。但如果輸入的代碼有格式錯誤，結果要麼是編譯錯誤，要麼是一份嚴重混亂的PDF。

而AI LaTeX編譯器則可以更加優雅地處理噪聲或格式錯誤的輸入，但它不能以「一鍵完成」的方式使用，而是需要進行大量的互動。

随後，在大量的嘗試中，陶哲軒又發現了一些ChatGPT在處理數學問題時的小亮點。

比如，一旦AI「學會」了使用者的需求，使用者就可以用最少的解釋或預格式化來提供進一步的資料，而AI依然可以推斷出一個令人滿意的輸出。

例如，在随後的此類請求中，即使輸入不是MathSciNet格式，AI仍然能夠繼續我在附加請求中隐含引入的參考命名約定。

總的來說，這些AI工具并不能幫助直接攻克未解的數學問題，但它們在各種相關的任務中相當有用，盡管之後常常需要一些手動調整。

2023年4月，在經過一段時間的使用之後，陶哲軒針對AI和人類（主要是自己）各自的優勢進行了一波總結。

1. 對于每天都要做的任務，陶哲軒已經掌握了足夠的技術來優化工作流。在這方面，AI工具的幫助不大。最明顯的就是在研究數學，同時也包括他已經極為熟練的郵件撰寫。

2. 對于有一些專業知識但很少實踐的任務，AI工具是有幫助的。比如建立初稿或者提供靈感，然後陶哲軒自己再去進行驗證和完善。這一類的例子包括資料處理、翻譯成外語，或以很少使用的格式編寫文本（比如，公開演講、規則檔案等）。

3. 對于幾乎沒有專業知識且不需要極高品質和可靠輸出的任務，也可以詢問AI工具，并或多或少地聽從它的建議。在這裡，AI的功能相當于一個操作更簡便的搜尋引擎。

4. 對于沒有專業知識但需要品質和可靠性的任務，就必須咨詢人類專家了。一個例子是修理複雜、昂貴且精密的裝置。

比如，第二類任務：

陶哲軒讓GPT用LaTeX輸出流程圖後，得到了下面這張圖檔。

可以看到，這張流程圖還比較粗糙，不過對于熟練使用LaTeX的陶哲軒來說，隻需簡單修改一下，即可得到下面這個成品。

再比如，第三類任務：

陶哲軒讓GPT把自己之前的文章總結為流程圖，結果如下。

2023年9月，陶哲軒對ChatGPT的探索，已經深入到用它來寫代碼了。

作為實驗，他要求ChatGPT寫一段Python代碼，為每個自然數n計算1,...,n的最長子序列的長度() ，其中歐拉全能函數ϕ不遞減。

很快，AI便生成了一段極其巧妙的代碼。雖然還存在一些偏差，但距離最終答案已經非常接近了。

随後，陶哲軒基于這段初始代碼作為起點，手動生成了自己想要的代碼，這大概節省了他半個小時的工作量。

因為ChatGPT給出的結果非常好，陶哲軒表示，自己以後還會經常使用它，為類似的計算提供初始代碼。

一看陶哲軒對AI的嘗試已經來到了代碼領域，坐不住的網友們便給他安利一波AI加持的VSCode。

對此，陶哲軒本人十分「聽勸」，竟然放下了自己已經用了近10年的TeXnicCenter+MiKTeX，立刻将工作流更新到了VSCode+TeX Live+LaTeX workshop+GitHub Copilot。

在初次嘗試中，他主要用的是很基礎的代碼片段功能（code snippets feature）——

通過輸入觸發詞（比如「cor」），并按下Tab鍵來建立整個推論環境（corollary environment），非常節省時間。

就在不到一個月之後，陶哲軒表示，他已經在用Github Copilot為自己的部落格文章撰寫提供助力了。

比如在下面這個例子中，陶哲軒将一個積分分成三部分，并描述了如何估計第一部分，随後Copilot正确地給出了剩下兩部分的估計方法。

他預計，在最終的成稿中，大約有十幾句來自Copilot的建議會以某種形式呈現出來。

随着AI自身的進化，以及愈發熟練的掌握，陶哲軒發現AI已經不再局限于外圍的任務，而是可以涉足數學領域本身了。

比如，在使用Lean進行自然數遊戲研究時，他便通過GPT-4的輔助得到了關于有限多個實變量不等式理論的成果。

并且，随着關卡變得越來越難，GPT的作用也越加能夠凸顯出來。

而在這波體驗之後，大神本人也算是徹底「入坑」了。

OK，自然數遊戲已經完成，現在我要去安裝Lean并編寫一個「hello world」程式了。

幾天之後，又是一大波心得總結：

- Github Copilot在完成簡短論證時非常有用，盡管它的較長建議通常是錯誤的。但即使是錯誤的建議也能幫助我學到正确的文法。

- GPT-4在澄清Lean文法的細微差别并提供我用數學英語解釋的步驟的Lean翻譯建議方面有一定幫助。然而，它似乎更受Lean3文法和最佳實踐的影響，而不是Lean4。

終于，在經過差不多100個小時的努力之後，陶哲軒用Lean4完成了Maclaurin型不等式論文的形式化。

大神畢竟是大神，陶哲軒很快又再一次跑通了用AI工具輔助數學研究——形式化多項式Freiman-Ruzsa猜想的證明，大獲成功。

參考資料：

https://mathstodon.xyz/@tao/112735110429475270

https://mathstodon.xyz/@tao/110250470289337319