天天看點

有界線性泛函的積分性質

這裡根據B站上一位老師的講解,對于有界線性泛函的積分性質給出證明。

有界線性泛函的積分性質
有界線性泛函的積分性質
有界線性泛函的積分性質
有界線性泛函的積分性質

這裡的假設是把Xs當作一個函數看待,其自變量為s,如下圖:

有界線性泛函的積分性質

即Xs隻在[a,s]這個無窮小的區域内非0,[s,b]區間内都是0。

這樣表示Xs的目的相當于,認為有界線性泛函f(xs)所對應的函數xs隻在确定的點上非0。

有界線性泛函的積分性質
有界線性泛函的積分性質

這裡的δk就是由[sk,tk]構成的小區間的長度。

以上證明說明,當f是連續線性泛函的時候,f(xs)是絕對連續函數。

由于絕對連續,則g(s)可微,由此可以作如下假設:

有界線性泛函的積分性質

最後一個等式成立,是因為Xs在[a,s]這個無窮小的區域内為1,而在[s,b]區間内都是0。

上面的證明表示,對于有界線性泛函f(x),由于x可以被階躍函數逼近,是以絕對連續,進而滿足牛頓萊布尼茨公式。

有界線性泛函的積分性質

這是因為階梯函數可以表示為

有界線性泛函的積分性質

以上所有證明的目的在于,對于有界線性泛函f(x),通過證明其絕對連續的性質,得到:

有界線性泛函的積分性質
有界線性泛函的積分性質