這裡根據B站上一位老師的講解，對于有界線性泛函的積分性質給出證明。
這裡的假設是把Xs當作一個函數看待，其自變量為s，如下圖：
即Xs隻在[a,s]這個無窮小的區域内非0，[s,b]區間内都是0。
這樣表示Xs的目的相當于，認為有界線性泛函f(xs)所對應的函數xs隻在确定的點上非0。
這裡的δk就是由[sk,tk]構成的小區間的長度。
以上證明說明，當f是連續線性泛函的時候，f(xs)是絕對連續函數。
由于絕對連續，則g(s)可微，由此可以作如下假設：
最後一個等式成立，是因為Xs在[a,s]這個無窮小的區域内為1，而在[s,b]區間内都是0。
上面的證明表示，對于有界線性泛函f(x)，由于x可以被階躍函數逼近，是以絕對連續，進而滿足牛頓萊布尼茨公式。
這是因為階梯函數可以表示為
以上所有證明的目的在于，對于有界線性泛函f(x)，通過證明其絕對連續的性質，得到：