大衛·希爾伯特（David Hilbert，1862～1943）是19世紀末20世紀初最傑出的數學家之一。作為數學家，他精力充沛，思想深刻，富于創造；作為導師，他誨人不倦，循循善誘，平易近人。他在數學與科學方面的偉大成就影響深遠，希爾伯特23問更是直接指引了20世紀的數學發展方向。世界上難得有一位數學家的工作不是以某種途徑導源于希爾伯特的工作的。希爾伯特像是數學世界的亞曆山大，在整個數學版圖上留下他那巨大而顯赫的名字。
柯尼斯堡與闵可夫斯基
1862年1月23日，希爾伯特出生于東普魯士的首府柯尼斯堡（歐拉七橋問題的發源地），父親是當地法官，母親則是商人的女兒。開明的父母從小就教育他要有普魯士人誠實勤勞的美德。小時候的希爾伯特和同齡人比起來顯得有些遲鈍，直到8歲才上學。父母将他送到了當地的名校—腓特烈預科學校，這是康德曾經的母校。不過希爾伯特對希臘語拉丁文這些繁瑣的課程絲毫不感興趣，真正使他着迷的隻有數學，後來他幹脆轉學到了更注重數學教育的威廉預科學校。在這裡，希爾伯特終于被激發了自己的天賦，幾乎所有課程都取得了優等成績，數學更是破格得了“超等”。學校在希爾伯特的畢業評語中寫道：
“他的勤奮堪稱楷模，他對數學有強烈的興趣，了解深刻，他用非常好的方法掌握老師講授的内容，并能有把握地、靈活地應用它們。”
也正是在故鄉柯尼斯堡，希爾伯特結識了一生的摯友，同樣作為數學大師的闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864－1909）。有意思的是，在瑞士追着愛因斯坦要他退學的正是當時的數學系主任闵可夫斯基。
闵可夫斯基
1872年，闵可夫斯基一家為躲避沙皇對猶太人的無情迫害，逃難到了柯尼斯堡定居。闵可夫斯基的大哥和父親重新白手起家，成了富有的商人，而他的二哥正是後來大名鼎鼎的“胰島素之父”奧斯卡·闵可夫斯基（Oscar Minkowski，1858–1931）。 闵可夫斯基僅僅用了5年半的時間就學完了預科學校八年的課程，然後進入了柯尼斯堡大學學習，兩年半以後，他又轉學到當時德國數學中心柏林大學學習。 恰巧在闵可夫斯基大學畢業那一年，巴黎科學院宣布1883年大獎的題目是一個整數拆分成五個平方數之和的表示法。在大哥的鼓勵下，闵可夫斯基仔細思索，憑借自己強大的數學天賦，竟寫成了一篇長達140頁的解答論文，最終和英國老牌數學家亨利·史密斯同時獲獎。此時的闵可夫斯基還 不滿19歲。英國為此大為光火，而柯尼斯堡卻轟動不已。大獎的評審，當時法國數學的權威約當（Jordan，1838～1922）不畏壓力，執意将大獎頒給年輕而十分具有數學才華的闵可夫斯基，并寫信給他：“幹吧!我請求你，成為一個偉大的數學家！”
約當
闵可夫斯基獲獎的消息很快傳到了希爾伯特耳中，希爾伯特不顧父親的告誡，高興地去拜訪一河之隔的闵可夫斯基。由于對數學同樣的摯愛，他們很快就成為了親密無間的好朋友，真摯的友誼伴随着了他們一生。
在柯尼斯堡大學的後山上，希爾伯特和闵可夫斯基，還有赫維茨(1859—1919，德國數學家)三人經常一起散步和讨論數學，交流心得。日後，他們三位都将成為數學界舉足輕重的人物。柯尼斯堡大學擁用良好的傳統和優秀的教師，雅克比曾執教于此，魏爾斯特拉斯的發掘者，理查勞特教授也在這裡耕耘。這裡的氛圍輕松，老師想教什麼就教什麼，學生想學什麼也随意，平常也沒有點名和考試，學生可以充分發揮自己的興趣特長。希爾伯特也得以全力研習數學。
不變量與數論
幾年之後，希爾伯特以某些代數形式的不變性質為研究内容完成了博士論文，獲得了一些精彩結果。在導師林德曼(Lindemann,1852~1939，德國數學家，證明了π為超越數)的建議下，希爾伯特決定走出柯尼斯堡，見識一下外面更為廣闊的數學世界。
在赫維茨的建議下，希爾伯特首先拜訪了當時德國數學的傳奇和領袖克萊因（Felix Christian Klein，1849~1925）。克萊因對他的映像非常深刻，在聽取了希爾伯特的一次報告後，就預言他日後必成大器，還精心收藏了他的演講稿。沒想到的是，幾十年後，在為希爾伯特慶祝60大壽時，已經坐上輪椅的克萊因竟然拿出了當年的演講稿送給希爾伯特，可謂一份大禮。拜别克萊因之後，他又到了當時的數學中心巴黎。此時的法國數學界早已不像柯西時代一樣冷漠高傲了，以龐加萊為首的法國數學同行熱情歡迎了希爾伯特的到來。在巴黎，希爾伯特特别和埃爾米特（Charles Hermite，1822—1901）進行了深入而友好的交流，尤其是關于兩人都關心的“哥爾丹問題”。巴黎之行了解到了許多數學的最新動态和成果。在傳回哥尼斯堡途中，他還特地去哥廷根拜訪了古怪的克羅内克（Leopold Kronecker，1823－1891）。克羅内克身材異常瘦小，身高不到一米五，而且 由于他經常尖酸地批評數學而受到數學界的排斥。令外界意外的是，他竟然熱情地接待了希爾伯特。
克萊因
龐加萊
克羅内克
在送出了一篇研究不變量的論文之後，希爾伯特順利拿到了講師資格，而不變量也成了希爾伯特此時心中的頭号問題。不變量問題的研究首先有英國數學家凱萊（Arthur Cayley，1821～1895）和西爾維斯特（James Joseph Sylvester，1814—1897）開拓，但很快德國人就趕了上來，更是誕生了“不變量之王”哥爾丹（Gordan，1837-1912）。不變量的問題當時是數學的大熱門，而其中的“哥爾丹問題”就是研究的焦點，所謂的“哥爾丹問題”說的是是否存在一組基(即一組個數有限的不變量)，使得其他所有的不變量都能夠用這組基的有理整形式表示出來?
哥爾丹
經過長時間的深思熟慮，靈光一現，希爾伯特以極為簡潔的數學語言證明了“哥爾丹問題”成立。克萊因和凱萊都十分欣喜地向希爾伯特表達了祝賀。但希爾伯特的證明終究還是引發了一場數學史上著名的論戰。以克羅内克和哥爾丹為代表的一批數學家認為，隻得到了存在性而沒有構造出來不能算是真正的證明，就此與希爾伯特展開了一場論戰。隻證明存在性如今已是數學中的家常便飯，但當時不能為一些老派數學家所接受。不堪叨擾的希爾伯特最終還是構造出了“哥爾丹問題”的解，這下哥爾丹才閉了嘴。闵可夫斯基非常高興的發來了賀信，“我早就清楚，由你來解決掉這個老的不變量問題，是遲早的事——就像是“i”上隻缺那個點；但是，它竟如此出奇地一下子給解決了，真使我非常高興，讓我祝賀你。”希爾伯特一戰成名，在數學界的地位一下子急劇上升。
1892年，希爾伯特接替了赫維茨在柯尼斯堡的副教授職位。在不變量上已經功成名就後，此時的希爾伯特注意力已經轉移到了代數數論上。僅一年之後，他就給出了π和e超越性全新而十分簡潔的證明，再次震驚了數學界。這年秋天，希爾伯特前往慕尼黑參加德國數學會的年會。在會上，希爾伯特提出了關于将一個域中的數分解成素理想的兩個新證明，他的這個工作再次給其他成員留下了深刻的印象。興奮之餘，大家都希望希爾伯特和闵可夫斯基可以專門寫一個關于數論發展報告，因為庫默爾（Kummer，1810-1893，德國數學家）和戴德金（Richard Dedekind ，1831—1916）等人的工作都太晦澀難懂了。
戴德金
好事總在希爾伯特身上發生，不久之後，由于哥廷根大學教席出現空缺，克萊因向希爾伯特發出了邀請，而希爾伯特欣然接受，在高斯到此之後一百年來到了這個數學聖地。他也将在這裡創造新的輝煌和度過餘生。
辛苦耕耘許久之後的1897年，整整400頁的《數論報告》正式完成并公布了。它無論在哪方面都超出了德國數學會成員的最初期望。他們本來隻希望他對這門理論的目前狀況作一個概述，而收到的卻是一本真正的傑作，将全部的問題融會貫通成一套優美完整的理論系統，将之前孤立的數論與代數和函數論結合了起來。闵可夫斯基在收到報告後激動地寫道：
“我毫不懷疑，希爾伯特将跻身數論領域中偉大學者之列。”
《數論報告》發表以後，希爾伯特有發表了一篇綱領性論文《相對阿貝爾域理論》，開創了後來衆所周知的類域論。如果說希爾伯特關于不變量的工作是一個理論的終結，那麼他在代數數域方面的工作則成為衆多數學家奮鬥的起點。
幾何基礎、狄利克雷原理的複活和希爾伯特23問
早在柯尼斯堡大學的時候，希爾伯特就開始考慮幾何基礎的問題。他認為歐氏幾何關于點、線、面的定義其實并不是太重要，它完全可以用桌子、椅子、啤酒杯來代替。而真正重要的是采用的公理系統關于公理，希爾伯特認為它必須滿完備、獨立和相容這三個條件。思考了這些之後，希爾伯特運用解析幾何的方法證明了，歐氏幾何中存在的任何沖突都可以等價于實數算術中的一個沖突。這就說明無論是非歐幾何還是歐氏幾何，至少與實數算術一樣地相容。之後，希爾伯特把這些結果彙集在了他的名著《幾何基礎》中。著一出版就立即引起了轟動，誰也沒想到一位數學大師竟會關注數學基礎領域并使之煥然一新。龐加萊對它尤其稱贊：“當代有些幾何學家可能覺得，在承認以否定平行公設為基礎的可能的非歐幾何方面，他們已經達到了極限。如果他們讀一讀希爾伯特教授的這部著作，那麼這種錯覺就會消除。他們将會在這部著作中發現，他們作繭自縛的屏障，已經被徹底沖垮了。”
我們都知道黎曼在他著名的博士論文中建立起了經典的單複變函數論，但黎曼的理論建立在一個假設的基礎上，也就是黎曼命名的狄利克雷原理：拉普拉斯方程的邊值問題一定存在解。當時的數學家都認為這個原理是正确的，因為方程所描述的實體過程必然會有一個結果。但喜歡“吹毛求疵”的“流言終結者”魏爾斯特拉斯卻不這麼認為，經過長時間的思考，他愣是舉出了狄利克雷原理不成立的反例，數學界一下子為之嘩然。多年之後，希爾伯特再次關注了這個塵封多年的“死結”，因為他不想把狄利克雷原理所發揮的巨大作用就這樣一筆勾銷。他證明了隻要對曲線和邊界值的性質加上某些限制，就可以消除維爾斯特拉斯所批評的缺點，恢複狄利克雷原理的簡明和優美。克萊因興奮地稱希爾伯特成功地“給曲面剪了毛”。
世紀之交很快到來，希爾伯特将為20世紀的數學發展獻上一份足以載入史冊的大禮，也就是他所提出的指引20世紀發展的23個深刻問題。關于希爾伯特23問，我在上一篇文章中有詳細介紹，這裡就不贅述了。
積分方程、實體與華林問題
1900年冬天，瑞典學生弗雷德霍姆（1866～1927，瑞典數學家）給希爾伯特的讨論班帶來了一篇最新發表的關于積分方程的論文。弗雷德霍姆創造性地給出了某些特殊積分方程的解，揭示了積分方程和線性代數方程之間某些隐藏的相似性。希爾伯特一下子就意識到了弗雷德霍姆的論文所蘊含的巨大意義。他毫不猶豫地放下了手中正在研究的變分法，投身到積分方程的研究中去。積分方程在此之前的發展異常緩慢而艱難，而希爾伯特的加入使得這個領域迎來了全盛的發展期，直接催生了希爾伯特空間和泛函分析。
1902年秋天，在希爾伯特和克萊因的不懈堅持和努力下，德國教育部同意闵可夫斯基到哥廷根任職。闵可夫斯基喜出望外，他說：“放眼未來的生活和工作，我看到了最美好的希望!”而更興奮的是希爾伯特，他終于又可以回到哥尼斯堡時候和他的散步和交流了。原本已是數學聖地的哥廷根因為闵可夫斯基的到來而顯得更加輝煌了。
精力旺盛的希爾伯特在闵可夫斯基的影響下，又愛上了實體，不可自拔地又陷入了對實體的研究。在讨論班上，他和闵可夫斯基研究起了電動力學，而這個讨論班則培養出了後來的實體大師，諾貝爾獎獲得者玻恩。讨論班的很多結果竟然與當時愛因斯坦的不謀而合，而闵可夫斯基在這段時間内則提出了他的空間理論，為相對論的數學基礎奠定了基石。
實體餘熱尚未散去，希爾伯特又着手攻克華林問題：每一個正整數必可表為4個平方數之和、9個立方數之和、19個四次方數之和等等；一般地，對應每一個n次方都有一個有限的數。這個難題困擾了數學界一百多年而無人可解。富于創造的希爾伯特沿着赫維茨的方法，最終證明了問題的存在性。
闵可夫斯基的不幸與戰争陰雲
正當他興奮地準備告訴闵可夫斯基的時候，闵可夫斯基卻因突發急性闌尾炎而倒下了，不久之後竟因惡性并發症而撒手人寰了！噩耗使得希爾伯特痛苦不已，自己失去了摯友，而數學則失去了一顆真誠的心靈。
幾年之後，第一次世界大戰突然爆發。理性的希爾伯特拒絕在戰争宣言上簽字，為此受到了當局甚至學校師生的批評。随着戰争的愈演愈烈，大量師生應征入伍，平常人來人往的哥廷根一下子變得落寞。哥廷根與外界的學術交流也戛然而止，這讓希爾伯特憂心不已。更糟糕的是，戰後，德國數學一直被國際數學界所排斥，顯得孤立無援。直到1928年國際數學家大會的召開，這一僵局才得以打破。希爾伯特不顧國内外勢力的阻撓，毅然決然地帶領由67人組成的德國數學代表團前往參會，而希爾伯特受到了特别熱烈的歡迎。他慷慨陳詞：
“我感到萬分高興，在一個漫長而艱難的時期之後，全世界數學家又在這裡歡聚一堂。為了我們無比熱愛的這門科學的繁榮，我們應該這樣做，也隻能這樣做。應該看到，作為數學家，我們是站在精确科學研究的高山之巅。除了義不容辭地擔當起這個崇高的職責，我們别無選擇。任何形式的限制，尤其是民族的限制，都是與數學的本質格格不入的。在科學研究中人為地制造民族的或種族的差異，是對科學極端無知的表現，其理由不值一駁。數學不分種族……對于數學來說，整個文明世界就是一個國家！”
希爾伯特在大會上再次講述了他對數學基礎，尤其是公理的看法。但後來哥德爾提出的不完備原理直接打破了希爾伯特的幻想，算術系統的狹義相容性是不可證明的。外爾形象地将之描繪為：“上帝是存在的，因為數學沒有沖突；魔鬼也是存在的，因為我們不能證明這無沖突性。”
停止了思考……
在希爾伯特70大壽的時候，克萊因生前努力争取來的新大樓建成了，但他絲毫也高興不起來。德國納粹勢力的上台使得大批猶太人逃離哥廷根，整個校園又變得和戰争時期一樣落寞，而且還帶着一絲死亡的氣息。希爾伯特在人生的最後幾年，不斷地看着自己的同僚和學生因迫害而逃亡他鄉，老人的心中充滿了無限的悲涼。不久之後，年邁的希爾伯特不幸在街上跌了一跤，之後就幾乎下不了床了。更為糟糕的是，傷口還引發了一系列并發症。1943年2月14日，大衛·希爾伯特與世長辭了，偉大的靈魂停止了思考。他被安葬在河的對岸，克萊茵也長眠于此。草地的墓碑上僅僅刻着他們各自的姓名和日期。
結語
對于希爾伯特一生的工作和貢獻，我們借用他最早的學生索末菲爾德的評價：
希爾伯特最偉大的數學成就是什麼?是不變量嗎?是他最喜愛的數論嗎?是幾何基礎嗎?——那是歐幾裡得幾何和非歐幾何之後，該領域中最偉大的成就。在函數論基礎和變分法計算方面，希爾伯特證明了黎曼和狄利克雷猜想的正确性。積分方程的研究也達到了高峰……不久，在新實體學裡……它們又結出了碩果。他的氣體理論，對新的實驗知識産生了根本性的效應，至今仍未過時。還有，他對廣義相對論的貢獻也具有永恒的價值。至于他探索數學真知的最後努力，現在還沒有定論。但是，當這個領域有可能進一步發展時，它将不會繞過而必須經由希爾伯特繼續前進。
外爾也評價他的老師說：
希爾伯特就像穿雜色衣服的風笛手，甜蜜的笛聲誘惑了衆多的老鼠，跟着他一起跳進了數學的深淵。
“我們必須知道，我們必将知道”，這是希爾伯特恪守一生的信念，也是指引無數後來者前進的動力。希爾伯特作為數學巨人，對他的評價我們也無須再贅述了，真正的偉大無須多言！