数学分析 定积分(第9章)

一.定积分概念

1.问题提出

和下面2个例子类似,很多问题的解决思想都可以被概括为分割,近似求和,取极限,这就是产生定积分概念的背景

(1)曲边梯形的面积:

(2)变力做的功:

2.定积分的定义

(1)分割和分割的模:

注1:由于 Δ x i ≤ ∣ ∣ T ∣ ∣ ( i = 1 , 2... n ) Δx_i≤||T||(i=1,2...n) Δxi​≤∣∣T∣∣(i=1,2...n),因此 ∣ ∣ T ∣ ∣ ||T|| ∣∣T∣∣可用来反映[a,b]被分割的细密程度

注2:分割T一旦给出, ∣ ∣ T ∣ ∣ ||T|| ∣∣T∣∣就随之确定;但是具有相同 ∣ ∣ T ∣ ∣ ||T|| ∣∣T∣∣的分割T却有无穷多个

(2)积分和(也称黎曼和):

注1:显然,积分和既与分割T有关,也与点集 { ξ i } \{\xi_i\} {ξi​}有关

注2:由于函数可积时定积分的值唯一,故常通过不同分割下黎曼和的极限不同这1点判定函数不可积

(3)定积分(也称黎曼积分):

3.几点说明

(1)定积分与函数极限:

定积分定义的 ε − δ ε-δ ε−δ说法和函数极限的 ε − δ ε-δ ε−δ说法相似,因此也常用极限符号表达定积分,即把定积分写作: J = lim ⁡ ∣ ∣ T ∣ ∣ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i = ∫ a b f ( x ) d x ( 4 ) J=\displaystyle\lim_{||T||→0}{\displaystyle\sum_{i=1}^n{f(\xi_i)Δx_i=\int_a^bf(x)dx}}\qquad(4) J=∣∣T∣∣→0lim​i=1∑n​f(ξi​)Δxi​=∫ab​f(x)dx(4)但积分和的极限和函数极限间有很大区别:在函数极限 lim ⁡ x → a f ( x ) \displaystyle\lim_{x→a}f(x) x→alim​f(x)中,对每个极限变量x来说f(x)的值是唯一确定的;但在定积分极限中,每个 ∣ ∣ T ∣ ∣ ||T|| ∣∣T∣∣并不唯一对应对应积分和的1个值(还和 T , { ξ i } T,\{\xi_i\} T,{ξi​}有关),因此积分和的极限比通常的函数极限复杂得多

(2)可积性是函数的又1个解析性质

参见 三 部分

(3)定积分的几何意义:

(4)定积分的不变性:

定积分的值只和被积函数 f f f以及积分区间[a,b]有关,而与积分变量所用的符号无关,即: ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a b f ( t ) d t = ∫ a b f ( θ ) d θ = ⋅ ⋅ ⋅ \int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(t)dt=\int_a^bf(θ)dθ=··· ∫ab​f(x)dx=∫ab​f(t)dt=∫ab​f(θ)dθ=⋅⋅⋅

二.牛顿-莱布尼兹公式(Newton-Leibniz formula)

• 牛顿-莱布尼兹公式又称微积分基本公式

定理9.1:若函数 f f f在[a,b]上连续,且存在原函数 F F F(即 F ′ ( x ) = f ( x ) , x ∈ [ a , b ] F'(x)=f(x),x∈[a,b] F′(x)=f(x),x∈[a,b]),则 f f f在[a,b]上可积,且 ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) ( 1 ) \int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)\qquad(1) ∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)(1)上式被称为牛顿-莱布尼兹公式,也常写成: ∫ a b f ( x ) d x = F ( x ) ∣ a b \int_a^bf(x)dx=F(x)\mid_a^b ∫ab​f(x)dx=F(x)∣ab​

注1:应用牛顿-莱布尼兹公式时,F(x)可由不定积分求得

注2:定理条件还可适当减弱,如(一般情形参见 推广 部分):

①对 F F F的要求可减弱为:在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且 F ′ ( x ) = f ( x ) , x ∈ ( a , b ) F'(x)=f(x),x∈(a,b) F′(x)=f(x),x∈(a,b)

这不影响定理的证明

②对 f f f的要求可减弱为:在[a,b]上可积(不一定连续)

这时(2)仍成立;且由 f f f在[a,b]上可积,(2)右边当 ∣ ∣ T ∣ ∣ → 0 ||T||→0 ∣∣T∣∣→0时的极限就是 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫ab​f(x)dx,而左边恒为1常数

注3:由定理9.10可知:连续函数必有原函数,因此本定理中"存在原函数F"这个条件可以去除

推广:若 f f f在[a,b]上可积, F F F在[a,b]上连续,且除有限个点外有 F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x)=f(x) F′(x)=f(x),则有: ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) \int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a) ∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)

三.可积条件

1.可积的必要条件:

定理9.2:若函数 f f f在[a,b]上可积,则 f f f在[a,b]上必定有界

注意:有界函数不一定可积,如狄利克雷函数在[0,1]上有界但不可积

由于函数有界是函数可积的必要条件,今后讨论可积性时总是假设函数是有界的,可能不再说明

2.可积的充要条件

(1)达布和:

(2)可积准则:

定理9.3:函数 f f f在[a,b]上可积的充要条件是:对 ∀ ε > 0 ∀ε>0 ∀ε>0,总∃相应的1个分割T,使得 S ( T ) − s ( T ) < ε S(T)-s(T)<ε S(T)−s(T)<ε

振幅:

可积性准则改述(定理9.3’):函数 f f f在[a,b]上可积的充要条件是:对 ∀ ε > 0 ∀ε>0 ∀ε>0,总∃相应的某个分割T,使得 ∑ T ω i Δ x i < ε \sum_T{ω_iΔx_i}<ε ∑T​ωi​Δxi​<ε

几何意义:

3.可积函数类

• 下面是一些可积的函数类型(即可积的充分条件)

(1)定理9.4:

若 f f f为[a,b]上的连续函数,则 f f f在[a,b]上可积

(2)定理9.5:

若 f f f是[a,b]上只有有限个间断点的有界函数,则 f f f在[a,b]上可积

(3)定理9.6:

若 f f f是[a,b]上的单调函数,则 f f f在[a,b]上可积

该定理可用于处理区间上有无限多个间断点的情况

四.定积分的性质

1.基本性质

(1)线性性质:

性质1:若 f f f在[a,b]上可积, k k k为常数,则 k f kf kf在[a,b]上也可积,且 ∫ a b k f ( x ) d x = k ∫ a b f ( x ) d x ( 1 ) \int_a^bkf(x)dx=k\int_a^bf(x)dx\qquad(1) ∫ab​kf(x)dx=k∫ab​f(x)dx(1)

性质2:若 f , g f,g f,g都在[a,b]上可积,则 f ± g f±g f±g在[a,b]上也可积,且 ∫ a b [ f ( x ) ± g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x ± ∫ a b g ( x ) d x ( 2 ) \int_a^b[f(x)±g(x)]dx=\int_a^bf(x)dx±\int_a^bg(x)dx\qquad(2) ∫ab​[f(x)±g(x)]dx=∫ab​f(x)dx±∫ab​g(x)dx(2)

性质1和性质2是定积分的线性性质,合起来即为: ∫ a b [ α f ( x ) ± β g ( x ) ] d x = α ∫ a b f ( x ) d x ± β ∫ a b g ( x ) d x   ( 其 中 α , β 为 常 数 ) \int_a^b[αf(x)±βg(x)]dx=α\int_a^bf(x)dx±β\int_a^bg(x)dx\,(其中α,β为常数) ∫ab​[αf(x)±βg(x)]dx=α∫ab​f(x)dx±β∫ab​g(x)dx(其中α,β为常数)

(2)积分区间的可加性:

若 f , g f,g f,g都在[a,b]上可积,则 f ⋅ g f·g f⋅g在[a,b]上也可积

a,

性质4: f f f在[a,b]上可积的充要条件是:对 ∀ ∈ ( a , b ) , f ∀∈(a,b),f ∀∈(a,b),f在[a,c]与[c,b]上都可积,此时有 ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x ( 3 ) \int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx\qquad(3) ∫ab​f(x)dx=∫ac​f(x)dx+∫cb​f(x)dx(3)

几何意义:

积分区间的扩展:

(3)保号性:

性质5:设 f f f为[a,b]上的可积函数,若 f ( x ) ≥ 0 ( a ≤ x ≤ b ) , f(x)≥0(a≤x≤b), f(x)≥0(a≤x≤b),则有: ∫ a b f ( x ) d x ≥ 0 ( 4 ) \int_a^bf(x)dx≥0\qquad(4) ∫ab​f(x)dx≥0(4)

推论(积分不等式性):若 f f f与 g g g为[a,b]上的2个可积函数,且 f ( x ) ≤ g ( x )   ( a ≤ x ≤ b ) f(x)≤g(x)\,(a≤x≤b) f(x)≤g(x)(a≤x≤b),则有: ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b g ( x ) d x ( 5 ) \int_a^bf(x)dx≤\int_a^bg(x)dx\qquad(5) ∫ab​f(x)dx≤∫ab​g(x)dx(5)

(4)性质6:

若 f f f在[a,b]上可积,则 ∣ f ∣ |f| ∣f∣在[a,b]上也可积,且有: ∣ ∫ a b f ( x ) d x ∣ = ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x ( 6 ) |\int_a^bf(x)dx|=\int_a^b|f(x)|dx\qquad(6) ∣∫ab​f(x)dx∣=∫ab​∣f(x)∣dx(6)

注意:该性质的逆命题一般不成立,如: f ( x ) = { 1 , x ∈ Q − 1 , x ∈ R − Q ( 表 示 无 理 数 集 ) f(x)=\begin{cases}1,x∈Q\\-1,x∈R-Q(表示无理数集)\end{cases} f(x)={1,x∈Q−1,x∈R−Q(表示无理数集)​在[0,1]上不可积

(5)改变积分区间内有限个点处的函数值不影响积分值:

性质7:若 f f f在[a,b]上可积,且 ∫ a b f ( x ) d x = A \int_a^bf(x)dx=A ∫ab​f(x)dx=A,设 g g g在[a,b]上除有限个点外均等于 f f f,则 g g g在[a,b]上也可积,且 ∫ a b g ( x ) d x = ∫ a b f ( x ) d x = A \int_a^bg(x)dx=\int_a^bf(x)dx=A ∫ab​g(x)dx=∫ab​f(x)dx=A

推论:若 f f f在[a,b]上可积,则 f f f在(a,b)上也可积,且 f f f在[a,b]和(a,b)上的定积分相等

2.积分中值定理

(1)积分第一中值定理:

定理9.7:若 f f f在[a,b]上连续,则至少∃1点 ξ ∈ \xi∈ ξ∈[a,b],使得 ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) ( 7 ) \int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)\qquad(7) ∫ab​f(x)dx=f(ξ)(b−a)(7)

几何意义:

(2)推广的积分第一中值定理

定理9.8:若 f f f与 g g g都在[a,b]上连续,且 g ( x ) g(x) g(x)在[a,b]上不变号,则至少∃1点 ξ ∈ \xi∈ ξ∈[a,b],使得 ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( ξ ) ∫ a b g ( x ) d x ( 8 ) \int_a^bf(x)g(x)dx=f(\xi)\int_a^bg(x)dx\qquad(8) ∫ab​f(x)g(x)dx=f(ξ)∫ab​g(x)dx(8)

该定理在 g ( x ) ≡ 1 g(x)\equiv1 g(x)≡1时,即为定理9.7

注:可证明定理9.7和定理9.8中的中值点 ξ \xi ξ必定能在(a,b)上取到

五.微积分学基本定理

• 这部分可以证明定理8.1

1.变限积分:

2.变限积分函数的连续性:

定理9.9:若 f f f在[a,b]上可积,则由(1)式定义的函数Φ在[a,b]上连续

3.原函数存在定理:被称为微积分学基本定理

定理9.10:若 f f f在[a,b]上可积,则由(1)式定义的函数Φ在[a,b]上处处可导,且 Φ ′ ( x ) = d d x ∫ a x f ( t ) d t = f ( x )   ( a ≤ x ≤ b ) ( x ) Φ'(x)=\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x)\,(a≤x≤b)\qquad(x) Φ′(x)=dxd​∫ax​f(t)dt=f(x)(a≤x≤b)(x)

4.积分第二中值定理:

• 该定理及其推论是建立反常积分收敛判别法的工具

定理9.11:设函数 f f f在[a,b]上可积,

①若函数 g g g在[a,b]上减,且g(x)≥0,则∃ ξ ∈ [ a , b ] \xi∈[a,b] ξ∈[a,b],使得: ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = g ( a ) ∫ a ξ f ( x ) d x ( 5 ) \int_a^bf(x)g(x)dx=g(a)\int_a^\xi f(x)dx\qquad(5) ∫ab​f(x)g(x)dx=g(a)∫aξ​f(x)dx(5)

②若函数 g g g在[a,b]上曾,且g(x)≥0,则∃ η ∈ [ a , b ] η∈[a,b] η∈[a,b],使得: ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = g ( b ) ∫ η b f ( x ) d x ( 6 ) \int_a^bf(x)g(x)dx=g(b)\int_η^b f(x)dx\qquad(6) ∫ab​f(x)g(x)dx=g(b)∫ηb​f(x)dx(6)

推论:设函数 f f f在[a,b]上可积,若 g g g为单调函数,则∃ ξ ∈ [ a , b ] \xi∈[a,b] ξ∈[a,b],使得 ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = g ( a ) ∫ a ξ f ( x ) d x + g ( b ) ∫ ξ b f ( x ) d x \int_a^bf(x)g(x)dx=g(a)\int_a^\xi f(x)dx+g(b)\int_\xi^bf(x)dx ∫ab​f(x)g(x)dx=g(a)∫aξ​f(x)dx+g(b)∫ξb​f(x)dx

六.定积分计算

• 对那些不能之间或在变形后使用牛顿-莱布尼兹公式的定积分,可以考虑以下方法

1.定积分换元积分法:

定理9.12:若函数 f f f在[a,b]上连续, φ ′ φ' φ′在[α,β]上可积,且满足 φ ( α ) = a , φ ( β ) = b , φ ( [ α , β ] ) ⊆ [ a , b ] φ(α)=a,φ(β)=b,φ([α,β])\subseteq[a,b] φ(α)=a,φ(β)=b,φ([α,β])⊆[a,b],则有定积分换元积分公式: ∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β f ( φ ( t ) ) φ ′ ( t ) d t \int_a^bf(x)dx=\int_α^βf(φ(t))φ'(t)dt ∫ab​f(x)dx=∫αβ​f(φ(t))φ′(t)dt

堆 φ φ φ的要求也可以改成: φ φ φ是单调的

2.定积分分部积分法

(1)定积分分部积分法:

定理9.13:若 u ( x ) , v ( x ) u(x),v(x) u(x),v(x)为[a,b]上的可微函数,且 u ′ ( x ) , v ′ ( x ) u'(x),v'(x) u′(x),v′(x)都在[a,b]上可积,则有定积分分部积分公式: ∫ a b u ( x ) v ′ ( x ) d x = u ( x ) v ( x ) ∣ a b − ∫ a b u ′ ( x ) v ( x ) d x ( 10 ) \int_a^bu(x)v'(x)dx=u(x)v(x)|_a^b-\int_a^bu'(x)v(x)dx\qquad(10) ∫ab​u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)∣ab​−∫ab​u′(x)v(x)dx(10)

公式(10)也可写成: ∫ a b u ( x ) d v ( x ) = u ( x ) v ( x ) ∣ a b − ∫ a b v ( x ) d u ( x ) ( 1 0 ′ ) \int_a^bu(x)dv(x)=u(x)v(x)|_a^b-\int_a^bv(x)du(x)\qquad(10') ∫ab​u(x)dv(x)=u(x)v(x)∣ab​−∫ab​v(x)du(x)(10′)

(2)推广的分部积分公式:

若在[a,b]上 u ( x ) , v ( x ) u(x),v(x) u(x),v(x)有n+1阶连续导数,则有: ∫ a b u ( x ) v ( x ) d x = [ u ( x ) v ( n ) ( x ) − u ′ ( x ) v ( n − 1 ) ( x ) + . . . + ( − 1 ) n u ( n ) ( x ) v ( x ) ] a b + ( − 1 ) n + 1 ∫ u ( n + 1 ) ( x ) v ( x ) d x ( 14 ) \int_a^bu(x)v(x)dx=[u(x)v^{(n)}(x)-u'(x)v^{(n-1)}(x)+...+(-1)^nu^{(n)}(x)v(x)]_a^b+(-1)^{n+1}\int u^{(n+1)}(x)v(x)dx\qquad(14) ∫ab​u(x)v(x)dx=[u(x)v(n)(x)−u′(x)v(n−1)(x)+...+(−1)nu(n)(x)v(x)]ab​+(−1)n+1∫u(n+1)(x)v(x)dx(14)

(3)泰勒公式的积分型余项:

七.可积性理论补叙

1.上和与下和的性质:

可知对 ∀ ξ ∈ Δ i ∀\xi∈Δ_i ∀ξ∈Δi​,必有: m ( b − a ) ≤ s ( T ) ≤ ∑ i = 1 n M i Δ x i ≤ S ( T ) ≤ M ( b − a ) ( 1 ) m(b-a)≤s(T)≤\displaystyle\sum_{i=1}^nM_iΔx_i≤S(T)≤M(b-a)\qquad(1) m(b−a)≤s(T)≤i=1∑n​Mi​Δxi​≤S(T)≤M(b−a)(1)借助上(下)和的性质,可由(1)式导出可积的充要条件

性质1:对同1个分割T,相对于任何点集 { ξ i } \{\xi_i\} {ξi​}而言,上和是所有积分和的上确界,下和是所有积分和的下确界,即: S ( T ) = s u p { ξ i } ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i , s ( T ) = i n f { ξ i } ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i S(T)=sup_{\{\xi_i\}}\displaystyle\sum_{i=1}^nf(\xi_i)Δx_i,s(T)=inf_{\{\xi_i\}}\displaystyle\sum_{i=1}^nf(\xi_i)Δx_i S(T)=sup{ξi​}​i=1∑n​f(ξi​)Δxi​,s(T)=inf{ξi​}​i=1∑n​f(ξi​)Δxi​

性质2:设T’为分割T添加p个新分点后得到的分割,则有: S ( T ) ≥ S ( T ′ ) ≥ S ( T ) − ( M − m ) p ∣ ∣ T ∣ ∣ ( 2 ) s ( T ) ≤ s ( T ′ ) ≤ s ( T ) + ( M − m ) p ∣ ∣ T ∣ ∣     ( 3 ) S(T)≥S(T')≥S(T)-(M-m)p||T||\qquad(2)\\s(T)≤s(T')≤s(T)+(M-m)p||T||\qquad\:\:\:(3) S(T)≥S(T′)≥S(T)−(M−m)p∣∣T∣∣(2)s(T)≤s(T′)≤s(T)+(M−m)p∣∣T∣∣(3)

即增加分点后:上和不增,下和不减

性质3:若T’,T’‘为∀2个分割,T=T’+T’‘表示把T’和T’'的所有分点合并而得的分割(注意:重复的分点只取1次),则: S ( T ) ≤ S ( T ′ ) , s ( T ) ≥ s ( T ′ ) S ( T ) ≤ S ( T ′ ′ ) , s ( T ) ≤ s ( T ′ ′ ) S(T)≤S(T'),s(T)≥s(T')\\S(T)≤S(T''),s(T)≤s(T'') S(T)≤S(T′),s(T)≥s(T′)S(T)≤S(T′′),s(T)≤s(T′′)

性质4:对∀2个分割T’,T’’,总有: s ( T ′ ) ≤ S ( T ′ ′ ) s(T')≤S(T'') s(T′)≤S(T′′)

该性质指出:在对[a,b]所作的∀2个分割中,1个分割的下和不大于另1个分割的上和

因此对所有分割来说,所有下和有上界,所有上和有下界,从而分别∃上确界和下确界,记作: s = s u p T ( T ) 和 S = i n f T ( T ) s=sup_T(T)和S=inf_T(T) s=supT​(T)和S=infT​(T)通常称S为 f f f在[a,b]上的上积分,s为 f f f在[a,b]上的下积分

性质5:m(b-a)≤s≤S≤M(b-a)

性质6(达布定理):上/下积分也是上/下和在||T||→0时的极限,即: lim ⁡ ∣ ∣ T ∣ ∣ → 0 S ( T ) = S , lim ⁡ ∣ ∣ T ∣ ∣ → 0 s ( T ) = s \displaystyle\lim_{||T||→0}S(T)=S,\displaystyle\lim_{||T||→0}s(T)=s ∣∣T∣∣→0lim​S(T)=S,∣∣T∣∣→0lim​s(T)=s

当M=m时, f f f为常量函数,性质恒成立,故这里设M>m

2.可积的充要条件

(1)可积的第一充要条件:

定理9.14:函数 f f f在[a,b]上可积的充要条件是: f f f在[a,b]上的上积分和下积分相等,即: S = s S=s S=s

(2)积分的第二充要条件:

定理9.15:函数 f f f在[a,b]上可积的充要条件是:对∀ ε > 0 ε>0 ε>0,总∃某个分割T,使得 S ( T ) − s ( T ) < ε , 即 ∑ i = 1 n ω i Δ x i < ε   ( i = 1 , 2... n ) S(T)-s(T)<ε,即\displaystyle\sum_{i=1}^nω_iΔx_i<ε\,(i=1,2...n) S(T)−s(T)<ε,即i=1∑n​ωi​Δxi​<ε(i=1,2...n)其中 ω i = M i − m i ( 即 为 f 在 Δ x i 上 的 振 幅 ) ω_i=M_i-m_i(即为f在Δx_i上的振幅) ωi​=Mi​−mi​(即为f在Δxi​上的振幅)

该定理就是定理9.3

(3)积分的第三充要条件:

定理9.16:函数 f f f在[a,b]上可积的充要条件是:对∀ ε > 0 , η > 0 ε>0,η>0 ε>0,η>0,总∃某个分割T,使得属于T的所有小区间中,对应于振幅 ω k ′ ≥ ε ω_{k'}≥ε ωk′​≥ε的小区间 Δ x k ′ Δx_{k'} Δxk′​的总长 ∑ k ′ Δ x k ′ < η \displaystyle\sum_{k'}Δx_{k'}<η k′∑​Δxk′​<η