漫步数学分析十——序列

定义7 令 xk 是 Rn 中的点列，如果对每个包含 x 的开集U(或者称为 x 的邻域)，有一个N使得 k≥N 时 xk∈U ，那么我们说 xk 收敛到 Rn 中的一个极限值 x ，如图1所示。

图1：序列收敛

这个定义与下面介绍的ε定理是一致的。

定理8 Rn 中的序列 xk 收敛到 x∈Rn ，当且仅当对于每个 ε>0 ，有一个 N 使得k≥N 时 ∥x−xk∥<ε 。

这个定义类似于我们熟悉的实数的收敛序列，下面介绍的定理与上面的非常类似

定理8 xk→x ，当且仅当 xk 的元素像实数序列那样收敛到 x 中的元素。

该定义的证明会放到附2中，从定理7中以及∥xk−x∥的显示公式中很容易得出这个定理。

我们可以用序列来判断一个集合是否为闭，方法如下：

定理9

1. 集合 A⊂Rn 是闭集，当且仅当每个序列 xk∈A 收敛的极限属于 A 。
2. 对于集合B⊂Rn， x∈cl(B) 当且仅当有一个序列 xk∈B 满足 xk→x 。

这个定义的直观与定理4与5一样，我们应该注意的是 (i),(ii) 中的序列是平凡的，对于所有 k,xk=x 。

类似 R1 的情况，可以定义 Rn 中的柯西序列。

定义8 对于序列 xk∈Rn ，如果对于每个 ε>0 ，有一个 N 使得l,k≥N暗含 ∥xk−xl∥<ε ，那么称该序列为柯西序列。

定理10 Rn 中的序列 xk 收敛到 Rn 中的点，当且仅当它是一个柯西序列。

因为柯西条件没有明确涉及极限点，所以这个定理是判断收敛一种非常重要的方法，因此即便我们不知道一个序列的极限，但我们依然可以说出该序列是否收敛。

注意：对于通常的度量空间(集合 S 与满足第一章定理5(III)条件的实值距离函数 d )柯西序列就是对所有ε>0，存在 N 使得k,l≥N时 d(xk,xl)<ε 的序列。当且仅当每个柯西序列收敛到空间中的一个点时，我们称该空间是完备的(complete)，这里给出一个不完备空间的例子：距离函数为 d(x,y)=|x−y| 的有理数，那么定理10就表明 Rn 是一个完备度量空间。

例1： 说明当 n→∞ 时序列 (1/n,1/n2) 收敛到 (0,0) 。

解： 序列中的每个元素 1/n,1/n2 都收敛到0，所以由定理8可知， xn=(1/n,1/n2) 收敛到 (0,0) 。

例2： 令 xn∈Rm 是收敛序列，且对所有的 n 满足∥xn∥≤1，那么说明极限 x 也满足∥x∥≤1，如果 ≤ 换成 < <script type="math/tex" id="MathJax-Element-73"><</script>的话，这个结论还满足吗？

解： 单位球 B={y∈Rm|∥y∥≤1} 是闭的，因此由定理9 (i) 可得， xn∈B 意味着 x∈B ，但是如果 ≤ 换成 < <script type="math/tex" id="MathJax-Element-80"><</script> 的话，这个结论就不为真。例如实数 R 上的xn=1−1/n序列。

例3： 找出 A={1/n∈R|n=1,2,…} 的闭包。

解： 利用定理9 (ii) ，序列 1/n→0 ，所以 0∈cl(A) ，从 A 中取任何其他序列都不会产生新的点，所以

cl(A)=A∪{0}