漫步数学分析十二——嵌套

定理1有一个非常重要的推论，就是嵌套性。

定理2 令 Fk 是 Rn 中非空紧集序列，对于所有 k=1,2,… 满足 Fk+1⊂Fk ，那么在 ∩∞k=1Fk 中至少存在一个点。

直观上来看，集合 Fk 会越来越小，所以我们可以将其看成序列中的一个点。然而，如果 Fk 是非紧的，那么交集可能为空。

我们可以用波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理证明它，对每个 k 选取xk∈Fk，那么 xk 有一个收敛的子序列，因为他们都位于 F1 中，因为集合 Fk 是闭的所以极限点肯定位于所有的集合中。

有一个更加容易的证明会在附3中给出，该证明用到了定理1 (ii)′ 。

例1： 对 Fk=[0,1/k]⊂R ，验证定理2。

解： 每个 Fk 是紧集并且很明显 Fk+1⊂Fk ，交集是 {0} ，它是非空的。

例2： 如果非空紧变成非空开火非空闭，那么定理2还成立吗？

解： 不成立。令 Fk=(k,∞) 或者 [k,∞) 。