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理解EPnP算法, 以及使用eigen3重写opencv3 epnp.cpp epnp还是没有理解透彻

论文参见https://icwww.epfl.ch/~lepetit/papers/lepetit_ijcv08.pdf

EPNP要理解透彻还是好难啊…… 现在还是只理解了一个大概。

中心思想: 三维空间中一个点可以由其他不共面的四个点的加权和表示

理解EPnP算法, 以及使用eigen3重写opencv3 epnp.cpp epnp还是没有理解透彻

epnp最终求解：一个旋转矩阵，一个平移矩阵（可转成四元数，四元数可再转成欧拉角）

epnp算法原理

编辑公式太耗时间了，手写。

理解EPnP算法, 以及使用eigen3重写opencv3 epnp.cpp epnp还是没有理解透彻
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opencv源码流程

opencv calib3d 模块中有好几种pnp的求解

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使用eigen3 重写，主要是替换数据结构和矩阵相关的接口

基于https://github.com/slowplayer/EPNP-Eigen

不过感觉原作者没有写完？

我改的版本： 使用了eigen3.2.10

#ifndef PNP_SOLVER_H
#define PNP_SOLVER_H

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Dense>
#include <Eigen/Geometry>
#include <Eigen/SVD>
#include <Eigen/QR>
#include <vector>
class PnpSolver
{
public:
  PnpSolver();
  ~PnpSolver(){};
 //设置相机内参
  void set_internal_parameters(double cx,double cy,double fx,double fy);
  void set_maximum_number_of_correspondences(int n);
  void reset_number_of_correspondences();
 //3d点和2d点
  void add_correspondence(Eigen::Vector3d point3d,Eigen::Vector2d point2d);

  double compute_pose(Eigen::Matrix3d &R,Eigen::Vector3d &T);
//此处的投影是为了可视化
  void projectPoints(std::vector<Eigen::Vector3d> &src,std::vector<Eigen::Vector2d> &dst,Eigen::Matrix3d &R,Eigen::Vector3d &T);

  double cx,cy,fx,fy;
private:
 //选择控制点，第一个点是质心，其他三个点跟主成分方向有关
  void choose_control_points();
 //计算alpha，灰度质心齐次坐标
  void compute_barycentric_coordinates();

  inline double dot(const double *v1,const double *v2);
  //求beta时的L矩阵
  void compute_L_6x10(const Eigen::Matrix<double,12,12> &Ut,Eigen::Matrix<double,6,10> &L_6x10);
  //L * beta = rho
  void compute_rho(Eigen::Matrix<double,6,1> &Rho);
  //N 取不同值的时候，求beta
  void find_betas_0(const Eigen::Matrix<double,6,10> &L_6x10,const Eigen::Matrix<double,6,1> &Rho,
              Eigen::Vector4d &Betas);
  void find_betas_1(const Eigen::Matrix<double,6,10> &L_6x10,const Eigen::Matrix<double,6,1> &Rho,
              Eigen::Vector4d &Betas);
  void find_betas_2(const Eigen::Matrix<double,6,10> &L_6x10,const Eigen::Matrix<double,6,1> &Rho,
              Eigen::Vector4d &Betas);

  //计算出beta值和对应的特征向量之后，计算相机坐标系中的控制点
  void compute_ccs(const Eigen::Vector4d &Betas,const Eigen::Matrix<double,12,12> &Ut);
  //通过相机坐标系中的控制点坐标，计算参考点在相机坐标系下的坐标
  void compute_pcs();
   检测参考点在相机坐标系下的z轴坐标是否大于零，大于零不做修改。如果小于零，需要按照相机光心（原点）中心对称一下。???
  void solve_for_sign();
  //horn的绝对定向算法？？
  void estimate_R_and_t(Eigen::Matrix3d &R,Eigen::Vector3d &T);
  double reprojection_error(const Eigen::Matrix3d &R,const Eigen::Vector3d &T);
  double compute_R_and_t(const Eigen::Matrix<double,12,12> &Ut,const Eigen::Vector4d &Betas,
              Eigen::Matrix3d &R,Eigen::Vector3d &T);
//高斯牛顿法
  void gauss_newton(const Eigen::Matrix<double,6,10> &L_6x10,const Eigen::Matrix<double,6,1> &Rho,Eigen::Vector4d &betas);
 //高斯牛顿法中的梯度
  void compute_A_and_b_gauss_newton(const Eigen::Matrix<double,6,10> &L_6x10,const Eigen::Matrix<double,6,1> &Rho,
                                    Eigen::Vector4d &betas,Eigen::Matrix<double,6,4> &A,Eigen::Matrix<double,6,1> &b);
  void qr_solve(Eigen::Matrix<double,6,4> &A, Eigen::Matrix<double,6,1> &B,Eigen::Vector4d &X);

  int maximum_number_of_correspondences;
  int number_of_correspondences;
//alphas就是论文里的那些alpha，pcs和pws分别时参考点在相机坐标系和世界坐标系中的点，us是，世界坐标系中的点在图像坐标系中的投影
  Eigen::MatrixXd pws,us,alphas,pcs;
//cws是参考坐标系中4个3d参考点，ccs是相机坐标系中4个3d参考点  
  Eigen::Matrix<double,4,3> cws,ccs;
  double cws_determinant;
};

#endif

           
#include "pnp_solver.h"
#include <iostream>
PnpSolver::PnpSolver()
:maximum_number_of_correspondences(),
number_of_correspondences()
{

}
void PnpSolver::set_internal_parameters(double cx, double cy, double fx, double fy)
{
   this->cx=cx;
   this->cy=cy;
   this->fx=fx;
   this->fy=fy;
}
void PnpSolver::set_maximum_number_of_correspondences(int n)
{
  maximum_number_of_correspondences=n;
  pws.resize(maximum_number_of_correspondences,);
  us.resize(maximum_number_of_correspondences,);
  alphas.resize(maximum_number_of_correspondences,);
  pcs.resize(maximum_number_of_correspondences,);
}
void PnpSolver::reset_number_of_correspondences()
{
  number_of_correspondences=;
}
void PnpSolver::add_correspondence(Eigen::Vector3d point3d, Eigen::Vector2d point2d)
{
  pws.row(number_of_correspondences)=point3d.transpose();

  us.row(number_of_correspondences)=point2d.transpose();

  number_of_correspondences++;
}
void PnpSolver::choose_control_points()
{
  cws.setZero(,);

 for(int i=;i<number_of_correspondences;i++)
     cws.row()+=pws.row(i);
  cws.row()/=number_of_correspondences;

  Eigen::MatrixXd PW0(number_of_correspondences,);
  Eigen::Matrix3d PW0tPW0;
  Eigen::Vector3d DC;
  Eigen::Matrix3d UCt;

  for(int i=;i<number_of_correspondences;i++)
      PW0.row(i)=pws.row(i)-cws.row();

  PW0tPW0=PW0.transpose()*PW0;

  //TODO:maybe wron
  //opencv  cvSVD(&PW0tPW0, &DC, &UCt, 0, CV_SVD_MODIFY_A | CV_SVD_U_T);
  //lmq 
  Eigen::JacobiSVD<Eigen::Matrix3d> svd(PW0tPW0,Eigen::ComputeFullU);
  DC=svd.singularValues();
  UCt=svd.matrixU().transpose();

  for(int i=;i<;i++)
  {
    double k=sqrt(DC(i-)/number_of_correspondences);
    cws.row(i)=cws.row()+k*UCt.row(i-);
  }
}
void PnpSolver::compute_barycentric_coordinates()
{
  Eigen::Matrix3d CC,CC_inv;

  for(int i=;i<;i++)
    for(int j=;j<;j++)
      CC(i,j-)=cws(j,i)-cws(,i);

  CC_inv=CC.inverse();

  for(int i=;i<number_of_correspondences;i++)
  {
    for(int j=;j<;j++)
    {
      alphas(i,+j)=CC_inv(j,)*(pws(i,)-cws(,))+
            CC_inv(j,)*(pws(i,)-cws(,))+
            CC_inv(j,)*(pws(i,)-cws(,));
    }
    alphas(i,)=-alphas(i,)-alphas(i,)-alphas(i,);
  }
}
inline double PnpSolver::dot(const double *v1,const double *v2)
{
  return v1[]*v2[]+v1[]*v2[]+v1[]*v2[];
}
void PnpSolver::compute_L_6x10(const Eigen::Matrix<double,,> &Ut,
                   Eigen::Matrix<double,,> &L_6x10)
{
   int a,b;
   double dv[][][];
   for(int i=;i<;i++)
   {
     a=,b=;
     for(int j=;j<;j++)
     {
        for(int k=;k<;k++)
      dv[i][j][k]=Ut(-i,*a+k)-Ut(-i,*b+k);

    if(++b>)
    {
      a++;
      b=a+;
    }
     }
   }

   for(int i=;i<;i++)
   {
     L_6x10(i,)=     dot(dv[][i],dv[][i]);
     L_6x10(i,)=*dot(dv[][i],dv[][i]);
     L_6x10(i,)=     dot(dv[][i],dv[][i]);
     L_6x10(i,)=*dot(dv[][i],dv[][i]);
     L_6x10(i,)=*dot(dv[][i],dv[][i]);
     L_6x10(i,)=     dot(dv[][i],dv[][i]);
     L_6x10(i,)=*dot(dv[][i],dv[][i]);
     L_6x10(i,)=*dot(dv[][i],dv[][i]);
     L_6x10(i,)=*dot(dv[][i],dv[][i]);
     L_6x10(i,)=     dot(dv[][i],dv[][i]);
   }
}
void PnpSolver::compute_rho(Eigen::Matrix<double,,> &Rho)
{
   Rho[]=(cws.row()-cws.row()).squaredNorm();
   Rho[]=(cws.row()-cws.row()).squaredNorm();
   Rho[]=(cws.row()-cws.row()).squaredNorm();
   Rho[]=(cws.row()-cws.row()).squaredNorm();
   Rho[]=(cws.row()-cws.row()).squaredNorm();
   Rho[]=(cws.row()-cws.row()).squaredNorm();
}
void PnpSolver::find_betas_0(const Eigen::Matrix<double,,> &L_6x10,const Eigen::Matrix<double,,> &Rho,
          Eigen::Vector4d &Betas)
{
  Eigen::Matrix<double,,> L_6x4;
  Eigen::Vector4d B4;

  L_6x4.col()=L_6x10.col();
  L_6x4.col()=L_6x10.col();
  L_6x4.col()=L_6x10.col();
  L_6x4.col()=L_6x10.col();

  B4=L_6x4.colPivHouseholderQr().solve(Rho);

  if(B4[]<)
  {
    Betas[]=sqrt(-B4[]);
    Betas[]=-B4[]/Betas[];
    Betas[]=-B4[]/Betas[];
    Betas[]=-B4[]/Betas[];
  }
  else
  {
    Betas[]=sqrt(B4[]);
    Betas[]=B4[]/Betas[];
    Betas[]=B4[]/Betas[];
    Betas[]=B4[]/Betas[];
  }
}
//to modify
void PnpSolver::find_betas_1(const Eigen::Matrix<double,,> &L_6x10,const Eigen::Matrix<double,,> &Rho,
          Eigen::Vector4d &Betas)
{
  Eigen::Matrix<double,,> L_6x3;
  Eigen::Vector3d B3;

  L_6x3.col()=L_6x10.col();
  L_6x3.col()=L_6x10.col();
  L_6x3.col()=L_6x10.col();

  B3=L_6x3.colPivHouseholderQr().solve(Rho);//cv_svd 用fullPivHouseholderQr()呢？或者是使用eigen/svd里面的东西

  if(B3[]<)
  {
    Betas[]=sqrt(-B3[]);
    Betas[]=(B3[]<)?sqrt(-B3[]):;
  }
  else
  {
    Betas[]=sqrt(B3[]);
    Betas[]=(B3[]>)?sqrt(B3[]):;
  }
  if(B3[]<)
    Betas[]=-Betas[];

  Betas[]=;
  Betas[]=;
}
void PnpSolver::find_betas_2(const Eigen::Matrix<double,,> &L_6x10,const Eigen::Matrix<double,,> &Rho,
          Eigen::Vector4d &Betas)
{
  Eigen::Matrix<double,,> L_6x5;
  Eigen::Matrix<double,,> B5;

  L_6x5.col()=L_6x10.col();
  L_6x5.col()=L_6x10.col();
  L_6x5.col()=L_6x10.col();
  L_6x5.col()=L_6x10.col();
  L_6x5.col()=L_6x10.col();

  B5=L_6x5.colPivHouseholderQr().solve(Rho);

  if(B5[]<)
  {
    Betas[]=sqrt(-B5[]);
    Betas[]=(B5[]<)?sqrt(-B5[]):;
  }
  else
  {
    Betas[]=sqrt(B5[]);
    Betas[]=(B5[]>)?sqrt(B5[]):;
  }
  if(B5[]<)
    B5[]=-B5[];
  Betas[]=B5[]/Betas[];
  Betas[]=;
}
void PnpSolver::compute_ccs(const Eigen::Vector4d &Betas,const Eigen::Matrix<double,,> &Ut)
{
  ccs.setZero(,);

  for(int i=;i<;i++)
  {
    for(int j=;j<;j++)
      for(int k=;k<;k++)
    ccs(j,k)+=Betas[i]*Ut(-i,*j+k);
  }
}
void PnpSolver::compute_pcs()
{
  pcs=alphas*ccs;
}
void PnpSolver::solve_for_sign()
{
  if(pcs(,)<)
  {
    ccs=-ccs;
    pcs=-pcs;
  }
}
void PnpSolver::estimate_R_and_t(Eigen::Matrix3d &R,Eigen::Vector3d &T)
{
  Eigen::Vector3d pc0,pw0;

  pc0.setZero();
  pw0.setZero();

  for(int i=;i<number_of_correspondences;i++)
  {
    pc0+=pcs.row(i);
    pw0+=pws.row(i);
  }
  pc0/=number_of_correspondences;
  pw0/=number_of_correspondences;

  Eigen::Matrix3d W=Eigen::Matrix3d::Zero();
  for(int i=;i<number_of_correspondences;i++)
  {
    W+= (pcs.row(i).transpose()-pc0)*((pws.row(i).transpose()-pw0).transpose());
  }

  //SVD on W
  Eigen::JacobiSVD<Eigen::Matrix3d> svd(W,Eigen::ComputeFullU|Eigen::ComputeFullV);

  Eigen::Matrix3d U=svd.matrixU();
  Eigen::Matrix3d V=svd.matrixV();

  R=U*(V.transpose());
  T=pc0-R*pw0;
}
double PnpSolver::reprojection_error(const Eigen::Matrix3d &R,const Eigen::Vector3d &T)
{
  double sum2=;
  Eigen::Vector3d point3d;
  Eigen::Vector2d point2d;
  for(int i=;i<number_of_correspondences;i++)
  {
    point3d=R*pws.row(i).transpose()+T;
    point2d[]=cx+fx*point3d[]/point3d[];
    point2d[]=cy+fy*point3d[]/point3d[];

    sum2+=(us.row(i).transpose()-point2d).squaredNorm();
  }
  return sum2/number_of_correspondences;
}
double PnpSolver::compute_R_and_t(const Eigen::Matrix<double,,> &Ut,const Eigen::Vector4d &Betas,
              Eigen::Matrix3d &R,Eigen::Vector3d &T)
{
  compute_ccs(Betas,Ut);
  compute_pcs();

  solve_for_sign();

  estimate_R_and_t(R,T);

  return reprojection_error(R,T);
}
double PnpSolver::compute_pose(Eigen::Matrix3d &R,Eigen::Vector3d &T)
{
  choose_control_points();
  compute_barycentric_coordinates();

  Eigen::MatrixXd M(*number_of_correspondences,);

  //fill M function
  for(int i=;i<number_of_correspondences;i++)
  {
    for(int j=;j<;j++)
    {
      M(*i,*j)=alphas(i,j)*fx;
      M(*i,*j+)=;
      M(*i,*j+)=alphas(i,j)*(cx-us(i,));

      M(*i+,*j)=;
      M(*i+,*j+)=alphas(i,j)*fy;
      M(*i+,*j+)=alphas(i,j)*(cy-us(i,));
    }
  }

  Eigen::Matrix<double,,> MtM;
  Eigen::Matrix<double,,> D;
  Eigen::Matrix<double,,> Ut;

  MtM=M.transpose()*M;
  //opencv cvSVD(&MtM, &D, &Ut, 0, CV_SVD_MODIFY_A | CV_SVD_U_T);
  //lmq modified
  Eigen::JacobiSVD<Eigen::Matrix<double,,> > svd(MtM,Eigen::ComputeFullU);
  D=svd.singularValues().transpose();//todo what?? seem no used
  Ut=svd.matrixU().transpose();

  Eigen::Matrix<double,,> L_6x10;
  Eigen::Matrix<double,,> Rho;

  //TODO
  compute_L_6x10(Ut,L_6x10);
  compute_rho(Rho);

  Eigen::Vector4d Betas0,Betas1,Betas2;
  Eigen::Matrix3d R0,R1,R2;
  Eigen::Vector3d T0,T1,T2;
  double errors[];

  find_betas_0(L_6x10,Rho,Betas0);
  gauss_newton(L_6x10,Rho,Betas0);
  errors[]=compute_R_and_t(Ut,Betas0,R0,T0);

  find_betas_1(L_6x10,Rho,Betas1);
  gauss_newton(L_6x10,Rho,Betas1);
  errors[]=compute_R_and_t(Ut,Betas1,R1,T1);

  find_betas_2(L_6x10,Rho,Betas2);
  gauss_newton(L_6x10,Rho,Betas2);
  errors[]=compute_R_and_t(Ut,Betas2,R2,T2);

  int N=;
  R=R0;T=T0;
  if(errors[]<errors[]) 
  {
    N=;R=R1;T=T1;
  }
  if(errors[]<errors[N])
  {
    N=;R=R2;T=T2;
  }
  return errors[N];
  return ; 
}

//attention
void PnpSolver::projectPoints(std::vector <Eigen::Vector3d> &src, std::vector <Eigen::Vector2d> &dst,Eigen::Matrix3d &R,Eigen::Vector3d &T)
{
    int size = src.size();
    for(int i = ;i < size; ++ i)
    {

        Eigen::Vector3d point3d = R * src[i]+T;

        dst[i][]=cx+fx*point3d[]/point3d[];
        dst[i][]=cy+fy*point3d[]/point3d[];
    }

}

void PnpSolver::gauss_newton(const Eigen::Matrix<double, , > &L_6x10, const Eigen::Matrix<double, , > &Rho,
                             Eigen::Vector4d &betas)
{
  const int iterations_number = ;//提高迭代次数好像没什么用，具体原因是？

  Eigen::Matrix<double,,> A;
  Eigen::Matrix<double,,> B;
  Eigen::Vector4d X;

  for(int k = ; k < iterations_number; k++)
  {
    compute_A_and_b_gauss_newton(L_6x10, Rho, betas, A, B);
    qr_solve(A, B, X);

    for(int i = ; i < ; i++)
      betas[i] += X[i];
  }


}


void PnpSolver::compute_A_and_b_gauss_newton(const Eigen::Matrix<double, , > &L_6x10,
                                             const Eigen::Matrix<double, , > &Rho, Eigen::Vector4d &betas,
                                             Eigen::Matrix<double, , > &A, Eigen::Matrix<double, , > &b)
{
  for(int i = ;i < ; ++i) {

    Eigen::RowVectorXd rowL = L_6x10.row(i);
    Eigen::RowVector4d rowA = A.row(i);

    rowA[] =  * rowL[] * betas[] +     rowL[] * betas[] +     rowL[] * betas[] +     rowL[] * betas[];
    rowA[] =     rowL[] * betas[] +  * rowL[] * betas[] +     rowL[] * betas[] +     rowL[] * betas[];
    rowA[] =     rowL[] * betas[] +     rowL[] * betas[] +  * rowL[] * betas[] +     rowL[] * betas[];
    rowA[] =     rowL[] * betas[] +     rowL[] * betas[] +     rowL[] * betas[] +  * rowL[] * betas[];

    b[i] = Rho[i] -
            (
                    rowL[] * betas[] * betas[] +
                    rowL[] * betas[] * betas[] +
                    rowL[] * betas[] * betas[] +
                    rowL[] * betas[] * betas[] +
                    rowL[] * betas[] * betas[] +
                    rowL[] * betas[] * betas[] +
                    rowL[] * betas[] * betas[] +
                    rowL[] * betas[] * betas[] +
                    rowL[] * betas[] * betas[] +
                    rowL[] * betas[] * betas[]
            );
    A.row(i) = rowA;

  }


}

void PnpSolver::qr_solve(Eigen::Matrix<double, , > &A, Eigen::Matrix<double, , > &B, Eigen::Vector4d &X)
{
  X = A.colPivHouseholderQr().solve(B);
}
vslam
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