《剑指Offer》60：n个骰子的点数

题目

把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为S。输入n，打印出S的所有可能的值出现的概率。

分析

直接法

假设骰子有face面，有n个骰子，那么总排列数就有faceⁿ个。（例如，有3个6面骰子，那么其总排列数为6³=216个）。所有骰子的和最小值为n（假设骰子最小值为1），而和最大值为n * face(例如，有3个6面骰子，那么和最大值为18)， 那么就有 （n * face - n + 1）个可能和值，那么新建长度为（n * face - n + 1）的一维数组进行统计不同S出现的次数。

然后骰子分别依次一个一个地投，并将其可能的值累加，最后将相应数组元素自增。

最后，遍历数组，除以总排列数，得出结果。

该算法时间复杂度为O(faceⁿ)，当n越大，运算时间越长。（n从12开始增大，等待时间就开始难以接受）空间复杂度为O(n * face)。

动态规划

确定问题解的表达式。可将f(n, s)表示n个骰子点数的和为s的排列情况总数

确定状态转移方程。n个骰子点数和为s的种类数只与n-1个骰子的和有关。因为一个普通骰子有六个点数，那么第n个骰子可能出现1到6的点数。所以第n个骰子点数为1的话，f(n,s)=f(n-1,s-1)，当第n个骰子点数为2的话，f(n,s)=f(n-1,s-2)，…，依次类推。在n-1个骰子的基础上，再增加一个骰子出现点数和为s的结果只有这6种情况！那么有：

f(n,s) = f(n-1,s-1) + f(n-1,s-2) + f(n-1,s-3) + f(n-1,s-4) + f(n-1,s-5) + f(n-1,s-6)
           

上面就是状态转移方程，已知初始阶段的解为：当n=1时, f(1,1)=f(1,2)=f(1,3)=f(1,4)=f(1,5)=f(1,6)=1。

该算法时间复杂度为O(n²)，空间复杂度为O(n²)。

以3个6面骰子为例，所用到dp[i][j]数组如下图所示。

i\j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
1	1	1	1	1	1	1
2	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1
3	1	3	6	10	15	21	25	27	27	25	21	15	10	6	3	1

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一、直接法

import java.util.Arrays;

public class SumOfNDices {

	public static int DICE_MAX_VALUE = 6;
	
	public double[] getProbability(int numOfDice) {
		if(numOfDice < 1) {
			throw new IllegalArgumentException();
		}
		
		int maxSum = DICE_MAX_VALUE * numOfDice;
		int[] sums = new int[maxSum - numOfDice + 1];
		Arrays.fill(sums, 0);
		
		setSums(numOfDice, sums);
		
		int total = (int)Math.pow(DICE_MAX_VALUE, numOfDice);
		
		return Arrays.stream(sums).mapToDouble((a)->(a * 1.0 / total)).toArray();
		
	}
	
	public void setSums(int numOfDice, int[] sums) {
		for(int i = 1; i <= DICE_MAX_VALUE; i++) {
			setSums(numOfDice, numOfDice - 1, i, sums);
		}
	}
	
	public void setSums(int numOfDice, int leftNumOfDice, int sum, int[] sums) {
		if(leftNumOfDice == 0) {
			sums[sum - numOfDice]++;
		}else {
			for(int i = 1; i <= DICE_MAX_VALUE; i++) {
				setSums(numOfDice, leftNumOfDice - 1, i + sum, sums);
			}
		}
	}
	
}
           

二、动态规划（二维数组）

public double[] getProbability2(int numOfDice) {
	if(numOfDice < 1) {
		throw new IllegalArgumentException();
	}
	int[][] dp = new int[numOfDice + 1][numOfDice * DICE_MAX_VALUE + 1];
	double[] result = new double[numOfDice * DICE_MAX_VALUE - numOfDice + 1];
	double total = Math.pow(DICE_MAX_VALUE, numOfDice);

	Arrays.fill(dp[1], 1, DICE_MAX_VALUE + 1, 1);

	for(int i = 1; i <= numOfDice; i++) {//如1, 2, 3, 4, 5, 6 
		for(int j = i; j <= DICE_MAX_VALUE * numOfDice; j++) {//n个6面骰子的和的可能值 ：6, 7, 8, 9, ...  
			for(int k = 1; k <= DICE_MAX_VALUE; k++) {//f(n, s) = f(n - 1, s - 1) + f(n - 1, s - 2) + f(n - 1, s - 3) + ...  
				dp[i][j] += (j >= k ? dp[i - 1][j - k] : 0); // j >= k 预防数组越界 

				if(i == numOfDice) {
					result[j - i] = dp[i][j] / total;
				}
			}
		}
	}

	return result;
}
           

由于每个dp[i][j]只于i-1时刻的状态有关，所以可以删去一个维度，简化算法。

三、动态规划（一维数组）

• 在上述解法的基础上，删去一个维度
• 第二个循环从后往前遍历，避免覆盖

public double[] getProbability3(int numOfDice) {
	if(numOfDice < 1) {
		throw new IllegalArgumentException();
	}
	int[] dp = new int[numOfDice * DICE_MAX_VALUE + 1];
	double[] result = new double[numOfDice * DICE_MAX_VALUE - numOfDice + 1];
	double total = Math.pow(DICE_MAX_VALUE, numOfDice);
	
	for(int i = 1; i <= DICE_MAX_VALUE; i++) {
		dp[i] = 1;
		result[i - 1] = 1.0 / DICE_MAX_VALUE;
	}
	
	for(int i = 2; i <= numOfDice; i++) {
		for(int j = DICE_MAX_VALUE * numOfDice; j >= 1; j--) {
			
			int temp = 0;
			for(int k = 1; k <= DICE_MAX_VALUE; k++) {
				temp += (j >= k) ? dp[j - k] : 0;
			}
			dp[j] = temp;
			
			if(i == numOfDice && j >= numOfDice) {
				result[j - i] = dp[j] / total;
			}
			
		}
	}
	
	return result;
}
           

测试

import java.util.Arrays;

import org.junit.Assert;
import org.junit.Test;

public class SumOfNDicesTest {

	@Test
	public void test() {
		SumOfNDices sd = new SumOfNDices();
		double[] result = sd.getProbability(1);
		System.out.println(result.length);
		System.out.println(Arrays.toString(result));
	}

	@Test
	public void test2() {
		SumOfNDices sd = new SumOfNDices();
		double[] result = sd.getProbability(10);
		double[] result2 = sd.getProbability2(10);
		
		Assert.assertArrayEquals(result, result2, 1E-10);
	}
	
	@Test
	public void test3() {
		SumOfNDices sd = new SumOfNDices();
		double[] result = sd.getProbability(10);
		double[] result3 = sd.getProbability3(10);

		Assert.assertArrayEquals(result, result3, 1E-10);
	}
}