高等數學---數列的極限

前言

本部落格目前階段記錄的數學相關的知識，是為了學習機器學習而準備的，是以可以很明顯的感覺到數學的實用性和數學的魅力。但從另一側面來說，本部落格記錄的數學知識是不完整的，也是不成體系的，也沒有深挖相關知識的來龍去脈，隻是本人覺得機器學習中需要某些數學知識的時候，就記這些知識，夠用就可以了。是以，并不适合入門。

雖然如此，我想本部落格數學方面的相關内容最起碼能起一個方向作用（因為當年我開始學習機器學習相關的數學基礎時很茫然），讓讀者知道哪些數學基礎是學習機器學習時非先掌握不可的，這樣才能有的放矢的去查漏補缺，并學以緻用。

極限

極限有兩種：數列極限和函數極限，用的較多的是函數極限，數列極限相比函數極限更易了解，由數列極限到函數極限，可進行比較再了解。

本篇文章先記錄數列 的極限，下一篇講函數的極限

數列的極限

我覺得要了解極限的概念，書上的例子是不得不看的，因為極限是為了探索實際問題的精确答案産生的，如果連極限要用到哪裡都不知道，學它又有什麼意義？

代數學家劉徽利用圓内接正多邊形為推算圓面積的方法—割圓術，就是極限思想在幾何學上的應用。設有一圓，首先作内接正六邊形，把它的面積記為 A1 A 1 ;再作内接正十二邊形，其面積記為 A2 A 2 ;再作内接正二十四邊形，其面積為 A3 A 3 ;如此下去，每次邊數加倍，一般地，把内接正 6∗2n−1 6 ∗ 2 n − 1 邊形的面積記為 An(n∈N+) A n ( n ∈ N + ) .這樣就得到一系列内接正多邊形的面積

A1,A2,…,An,…, A 1 , A 2 , … , A n , … ,

當 n n 越大，内接正多邊形與圓的面積差别就越小。但是無論nn取得如何大，隻要 n n 取定了，AnAn終究隻是多邊形的面積，而不是圓的面積。

是以，設想 n n 無限增大（記為n→∞n→∞，讀作 n n 趨于無窮大)，即内接正多邊形的邊數無限增加，在這個過程中，内接正多邊形無限接近于圓，同時AnAn也無限接近于某一确定的數值，這個确定的數值了解為圓的面積。這個确定的數值在數學上稱為有序數列 A1,A2,…,An,… A 1 , A 2 , … , A n , … 當 n→∞ n → ∞ 時的極限。書上說，正是這個數列的極限才精确地表達了圓的面積，但還是沒有了解這個啊，從上面的描述來看也還是無限接近于圓，而不是就是圓。

數列的概念 如果按照某一法則，對每個 n∈N+ n ∈ N + ,對應着一個确定的實數 xn x n ,這些實數 xn x n 按照下标 n n 從小到大排列得到一個序列

x1,x2,x3,…,xn,…x1,x2,x3,…,xn,…

就叫做數列，簡記為數列 xn x n

數列中的每個數叫做數列的項，第 n n 項xnxn叫做數列的一般項（或通項）。

下面給出數列的具體定義。

定義 設 {xn} { x n } 為一數列，如果存在常數 a a ，對于任意給定的正數ϵϵ(不論它有多小)，總存在正整數 N N ，使得當n>Nn>N時（ n n 表示第nn項），不等式

|xn−a|<ϵ | x n − a | < ϵ

都成立，那麼就稱常數 a a 是數列{xn}{xn}的極限，或稱數列 {xn} { x n } 收斂于 a a ，記為

limn→+∞xn=a(1)(1)limn→+∞xn=a

或

xn→a(n→∞) x n → a ( n → ∞ )

如果不存在這樣的常數 a a ,就說數列xnxn沒有極限，或者說數列 xn x n 是 發散的，習慣上也說 limn→∞xn lim n → ∞ x n 不存在

1式可表達為：

limn→+∞xn=a⇔∀ε>0,∃ lim n → + ∞ x n = a ⇔ ∀ ε > 0 , ∃ 正整數 N N ，當n>Nn>N時，有 |xn−a|<ε | x n − a | < ε 。

就是數列第N項以後的項的值都接近于a，而這個接近程度就是通過之差小于ε來描述的。 就 是 數 列 第 N 項 以 後 的 項 的 值 都 接 近 于 a ， 而 這 個 接 近 程 度 就 是 通 過 之 差 小 于 ε 來 描 述 的 。

數列極限還是挺好了解的，再看下書上的例子就更容易明白了。

參考書籍和視訊：

• 《高等數學》第7版同濟大學
• 哈工大高等數學（工程數學分析）視訊（尹遜波老師主講）
• 天津大學蔡高廳老師高等數學189那個課程