今年5月末，一位兒時因七巧闆愛上破解謎題、進而創造謎題的芬蘭人，解決了一個數學上的百年謎題。在他之前，有一位中國的折紙和解謎高手也曾為破解這道難題做出重要貢獻。
撰文 | 嘉偉
似乎人類很喜歡拼圖類的遊戲。在不同的文明中，各式各樣的拼圖玩具被不同時代的人反複發明。根據著名的《阿基米德重寫本》（Archimedes Palimpsest），阿基米德曾将一個正方形分解成14塊，思考如何将碎片以不同的方式重新組合在一起，形成一個正方形。源自中國的七巧闆，更是給世界各地的兒童帶來無限樂趣的益智玩具。今年5月末，一位兒時因七巧闆愛上破解謎題、進而創造謎題的芬蘭人，解決了一個數學上的百年謎題。
阿基米德的14塊碎片拼正方形難題Ostomachion。
剖分謎題
在19世紀後期，當報紙和雜志開始刊登各種智力趣題填充版面時，這些謎題的受歡迎程度大大提高。美國的益智謎題創作者薩姆·勞埃德（Sam Loyd）和英國的亨利·杜德尼（Henry Dudeney）是最受歡迎的出題人。從那時起，拼圖和相關衍生謎題就被用于娛樂和數學教育。
勞埃德曾向公衆發起智力挑戰：一個木匠需要将一個主教冠形狀（一個正方形切去1/4，即剔除一個等腰直角三角形後）的木闆切割成幾塊（要求塊數最小），才能經過再拼接，重組成一個小正方形？勞埃德後來給出了自己的答案，遺憾的是，他的構造并不正确。勞埃德認為分成适當的4小塊，便已足夠。
圖中人手中拿着的那個東西就是所謂的主教冠mitre形狀。
在數學上，将正多邊形和其他簡單的幾何形狀分解成若幹塊，然後重新拼成另一種形狀，叫做平面面積剖分（Dissection）。剖分可以說是拼圖遊戲的專業更新版：玩家由借助已知的碎片完成拼圖，更新到為了實作圖形的重組，自行設計和切割出合适的碎片。
剖分後來成為馬丁·加德納（Martin Gardner）1961年11月在《科學美國人》上發表的“數學遊戲專欄”的主題。他在專欄裡再次向公衆介紹了勞埃德的問題——“主教冠問題”（Miter-Dissection Puzzle）。雖然讀者們踴躍參與，但沒有人能想出4塊的拼法，人們至少要把原圖形分解成5塊，才能把它們重新拼出一個正方形。
直到勞埃德過世百餘年後的2024年5月27日，mathstodon社群一位名為Vesa Timonen的使用者貼出了下圖：
4塊拼圖
先解釋一下圖檔裡的内容。
最上面一層是勞埃德在1901年提出的問題：把左側的圖形剖分後，重新拼成右側的圖形（正方形）。
從上往下第二層是勞埃德自己給出的解答。從圖裡可以看到，他借助台階錯合的技巧，想要構造出正方形。但是，簡單計算一下就知道無法得到正方形。
第三層則是曆史上亨利·杜德尼給出的5塊剖分的構造。當然，除了杜德尼之外，還有其他人也給出了自己的5塊剖分構造，其中包括國内一位名為傅薇的折紙和解謎高手。甚至在Vesa Timonen後來開列的參考文獻裡，就包括傅薇發表在微信公衆号上的一篇文章《折紙思路新解百年數學題》（也就是文末參考資料2，作者給出了新穎的5塊解法）。
Timonen認為傅薇的這篇文章，是在他之前對這個問題梳理得最好的文獻。雖然他看不懂中文，但是借助翻譯軟體讀完了全文。感興趣的朋友可以找來一讀，其中還有很詳細的計算，可以解釋為何勞埃德的方法行不通。同時，由于一直找不到4塊剖分，一段時間以來，人們傾向于認為，不存在4塊的解法……
至于第四層，就是Timonen本人發現的4塊剖分解法。
想出剖分方法是很困難的，但是驗證已有的方法則非常簡單。數學界在初步檢驗過後，就有人疑惑道：Vesa Timonen是誰啊？他又是怎麼做到的？
雙重身份
Vesa Timonen擁有雙重身份，白天按部就班地上班，幹的是令自己讨厭的嵌入式軟體工程師，晚上則是才華橫溢的智力玩具謎題設計師。盡管他在數學圈子裡毫無名氣，但Timonen是芬蘭最傑出的益智玩具設計師之一，也是為數不多的拼圖設計師之一。甚至在國内的智力玩具（如巧環、魯班鎖這種）愛好者圈子裡，也有很高的知名度。
工作中的Vesa Timonen
他從小就對魔術感興趣，但是随着年齡增長，他更願意去破解魔術。後來，他的叔叔教他玩七巧闆，他們開始一個接一個地解決七巧闆的難題。等成年後，他開始自己設計謎題。他的許多作品都被Hanayama Cast系列收錄。Hanayama是一家對于謎題愛好者來說非常有影響力的日本玩具公司。
Timonen認為，任何人都可以通過不斷嘗試和分析失敗來創造出獨特的謎題。他還強調，失敗是創作過程中的一部分，每次失敗都會帶來新的啟示和靈感。
智力玩具設計師的筆記本上全是幾何圖形和數學計算
這一次，Timonen編寫了一個軟體，希望能借助現代計算機的算力系統地解決各種剖分問題。他選中的第一個問題就是主教冠問題，然後十分順利地找到了答案。實際上，如果滑動邊界，可以構造出無限多個4塊剖分解法。
示意圖（直覺看起來圖形可能邊長不等，但實際上誤差很小）
南韓延世大學的數學博士Jin-Hoo Ahn為Timonen的解法提供了一個無文字證明，大家可以欣賞一下。
圖源：THE MITRE DISSECTION PUZZLE (vesatimonen.github.io)
稍帶一提，Jin-Hoo Ahn也是謎題愛好者，還會制造機關盒一類的智力玩具。或許就是是以和本文的主角有了交集。
更加數學
Timonen的4塊剖分解裡，有一個瑕疵：兩邊的綠色塊其實是鏡像對稱的。也就是說，拼圖的時候，綠色塊沒有區分正反面。Timonen嘗試尋找不包含鏡像對稱的剖分方法，但始終未能成功。相反，程式找到了50多個不帶鏡像對稱的5塊解法。是以，或許并不存在4塊非鏡像的剖分解法，但我們還未能證明這一點。這也是這道百年謎題所缺失的最後一塊拼圖。
在數學上，我們有著名的華勒斯-波埃伊-格維也納定理（Wallace-Bolyai-Gerwien Theorem，1807）：對于任意兩個多邊形，都可以把其中一個分割成有限多個小多邊形，并經過平移和旋轉，拼合成第二個大多邊形。
上述定理保證了剖分的可行性，但是當把“有限個”限制到具體的數值時（比如說今天的問題是4塊），就無法保證僅靠平移和旋轉就能拼合成功。翻轉小塊得到鏡像，或許是必要的操作。
除了限制翻轉-鏡像的使用之外，人們有時對剖分加上一些更強的限制。如著名的鉸接式剖分Hinged dissection。
在幾何中，鉸接式剖分（又稱擺動鉸鍊式剖分或杜德尼剖分）的所有部分都通過“鉸鍊”的接點連成整體。如此一來，從一個圖形到另一個圖形的重新排列可以通過連續擺動鍊來進行，而不會（也不能）切斷任何連接配接。通常情況下，我們假定在折疊和展開過程中允許碎片重疊。
鉸接式剖分的概念是由前文提到的亨利·杜德尼推廣的。他在1907年出版的《坎特伯雷謎題》（The Canterbury Puzzles） 一書中，介紹了著名的将正方形用鉸鍊剖成三角形的方法。
然而，是否能把華勒斯-波埃伊-格維也納定理推廣到鉸接式剖分上呢？亦即兩個面積相等的多邊形，是否必然能通過一個鉸接式剖分化為彼此？這個問題一直懸而未決。
直到 2007 年，Erik Demain等人證明了必定存在這樣的鉸接式剖分，并提供了一種生成鉸接式剖分的構造算法。即使要求擺動時元件不會重疊，這個證明也是成立的，而且可以推廣到任何一對有共同剖面的三維圖形。然而，在三維空間中，并不能保證元件重組時不會彼此重疊。二維平面上重疊的話，在實體上是很容易實作的——隻要了解成運動過程中分出上下兩層便可。但是三維構件彼此重疊，則是實體上的剛體無法實作的。隻能當成是數學上的無實體對象。
化圓為方
前面的讨論始終停留在直線構成的圖形上，那麼，由曲線圍成的圖形也能剖分重組嗎？或許最終極的剖分問題，就是化圓為方。
公元前450年左右，相信“理性統治世界”的哲學家、天文學家和數學家Anaxagoras，在因渎神而遭遇監禁的期間提出了一個現在著名的數學問題，即：僅使用圓規和沒刻度的直尺，你能畫出一個與給定圓等面積的正方形嗎？
這個問題在1882年有了答案，當時德國數學家費迪南德·馮·林德曼（Ferdinand von Lindemann）證明，這是一個尺規作圖不能問題。他證明圓周率π是一種特殊的數字，稱之為超越數（超越數還包括e）。
原本故事可以在這裡畫上句号。但在1925年，人類曆史上最重要的邏輯學家之一的阿爾弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski）通過調整規則重新提出了這個問題。他問，是否可以通過将一個圓盤切成有限數量的小塊，用它們重新拼出一個正方形來？
1988年，Miklós Laczkovich正面回答了塔斯基的問題：圓形可以剖分後重新配置為正方形，大概需要把圓分解成10^50個碎片。但是相當長的一段時間以來，化圓為方的剖分方法裡總是涉及一些無法直覺展示和可構造的成分：存在面積無法定義（勒貝格不可測集）的碎片和面積為0的碎片（零測度集）。
直到前幾年，加州大學洛杉矶分校的數學家Andrew Marks與現在在多倫多大學的Spencer Unger才提供了第一個完全構造性的化圓為方的證明：每個碎片都有明确的面積，無一例外。
代價是，他們要把圓分解成10^200個碎片，同時雖然理論上是可構造的，但過程太複雜，無法進行展示。
2022年2月，華威大學的Andras Máthé和Oleg Pikhurko以及維多利亞大學的Jonathan Noel在網上發表的一篇論文為這一古老的問題添加了新的内容。他們的作品雖然也把圓分為約10200塊，但形狀更簡單，更容易形象化。甚至可以做成示範視訊。
數學家已經有了進一步簡化拼圖碎片的想法，減少總數和不均勻性。Marks做過的計算機模拟實驗表明——但未證明——分解可以至多用22塊來完成。他認為最低數字可能會更低。
“我敢打賭，你可以用不到20塊來化圓為方。”他說，“但我不會賭上1000美元。”