数学分析 极限(第2,3章)

一.数列极限

1.概念

(1)定义:

(2)无穷小数列:

定理2.1:数列{an}收敛于a的充要条件是{an-a}为无穷小数列

(3)无穷大数列:

2.收敛数列的性质

(1)唯一性(定理2.2):

若{an}收敛,则它只有1个极限

(2)有界性(定理2.3):

若{an}收敛,则{an}为有界数列,即∃M>0,对∀n∈Z+,都有|an|≤M

(3)保号性(定理2.4):

若 lim ⁡ n → ∞ a n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{a_n} n→∞lim​an​=a>0,则对∀a’∈(0,a)(或a’∈(a,0)),∃N>0,使得当n>N,有an>a’(或an<a’)

推论:设 lim ⁡ n → ∞ a n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{a_n} n→∞lim​an​=a, lim ⁡ n → ∞ b n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{b_n} n→∞lim​bn​=b,a<b,则∃N,使得当n>N,有an<bn

(4)保不等式性(定理2.5):

设{an}和{bn}均为收敛数列,若∃N0>0,使得当n>N0时,有an≤bn,则 lim ⁡ n → ∞ a n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{a_n} n→∞lim​an​≤ lim ⁡ n → ∞ b n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{b_n} n→∞lim​bn​

(5)迫敛性(定理2.6):

设收敛数列{an},{nn}都以a为极限,{cn}满足:∃N0>0,当n>N0时,有an≤cn≤bn,则{cn}收敛,且 lim ⁡ n → ∞ c n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{c_n} n→∞lim​cn​=a

(6)四则运算法则(定理2.7):

若{an}与{bn}为收敛数列,则{an±bn},{an·bn}也都是收敛数列,且有 lim ⁡ n → ∞ ( a n ± b n ) \displaystyle \lim_{n \to \infty}{(a_n±b_n)} n→∞lim​(an​±bn​)= lim ⁡ n → ∞ a n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{a_n} n→∞lim​an​± lim ⁡ n → ∞ b n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{b_n} n→∞lim​bn​, lim ⁡ n → ∞ ( a n ⋅ b n ) \displaystyle \lim_{n \to \infty}{(a_n·b_n)} n→∞lim​(an​⋅bn​)= lim ⁡ n → ∞ a n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{a_n} n→∞lim​an​· lim ⁡ n → ∞ b n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{b_n} n→∞lim​bn​

特别地,当bn为常数c, lim ⁡ n → ∞ ( a n ± c ) \displaystyle \lim_{n \to \infty}{(a_n±c)} n→∞lim​(an​±c)= lim ⁡ n → ∞ a n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{a_n} n→∞lim​an​±c, lim ⁡ n → ∞ c a n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{ca_n} n→∞lim​can​=c lim ⁡ n → ∞ a n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{a_n} n→∞lim​an​

若再假设bn≠0且 lim ⁡ n → ∞ b n \displaystyle \lim_{n \to \infty}{b_n} n→∞lim​bn​≠0,则{ a n b n \frac{a_n}{b_n} bn​an​​}也是收敛数列,且有 lim ⁡ n → ∞ a n b n \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} n→∞lim​bn​an​​= lim ⁡ n → ∞ a n lim ⁡ n → ∞ b n \frac{\displaystyle \lim_{n \to \infty}{a_n}}{\displaystyle \lim_{n \to \infty}{b_n}} n→∞lim​bn​n→∞lim​an​​

3.子列:

4.单调数列:

5.数列极限存在的条件

(1)数列收敛的充要条件(定理2.8):

数列{an}收敛的充要条件是:{an}的∀子列都收敛

(2)单调有界收敛定理(定理2.9):

在实数系中,有界的单调数列必有极限

(3)致密性定理(定理2.10):

引子:任何数列都∃单调子列

致密性定理:任何有界数列必定有收敛的子列

(4)柯西收敛准则(Cauchy’s Convergence Test;定理2.11):

数列{an}收敛的充要条件是:对∀ ϵ \epsilon ϵ>0,∃N∈Z+,使得当n,m>N时,有|an-am|< ϵ \epsilon ϵ

这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题

二.函数极限

1.概念

(1)函数的极限:

①x趋于 ∞ \infty ∞时的极限:

②x趋于x0时的极限:

(2)函数的单侧极限:

某些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同(如分段函数),或函数在某些点处仅在某1侧有定义(如在定义区间断点处),这时函数在这些点处的极限只能单侧地给出定义

(3)函数的单侧极限与极限的关系:

定理3.1: lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)=A⇔ lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0^+}{f(x)} x→x0+​lim​f(x)= lim ⁡ x → x 0 − f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0^-}{f(x)} x→x0−​lim​f(x)=A

常用于说明某些极限不存在,如 lim ⁡ x → 0 + s g n x \displaystyle \lim_{x \to 0^+}{sgnx} x→0+lim​sgnx≠ lim ⁡ x → 0 − s g n x \displaystyle \lim_{x \to 0^-}{sgnx} x→0−lim​sgnx,故 lim ⁡ x → 0 s g n x \displaystyle \lim_{x \to 0}{sgnx} x→0lim​sgnx不存在

(4)非正常极限 ∞ \infty ∞:

2.函数极限的性质

• 以下性质适用于全部6类函数极限或单侧极限,证明以 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)为例,其余5类极限的性质的证明只需在此基础上略作修改

(1)唯一性(定理3.2):

若极限 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)存在,则此极限是唯一的

(2)局部有界性(定理3.3):

若 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)存在,则f在x0的某去心邻域U°(x0)上有界

(3)局部保号性(定理3.4):

若 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)=A>0(或<0),则对∀0<r<A(或0<r<-A),∃U°(x0),使得对∀x∈U°(x0),有f(x)>r>0(或f(x)<-r<0)

(4)保不等式性(定理3.5):

设 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)与 lim ⁡ x → x 0 g ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{g(x)} x→x0​lim​g(x)均存在,且在U°(x0;δ’)上有f(x)≤g(x),则 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)≤ lim ⁡ x → x 0 g ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{g(x)} x→x0​lim​g(x)(记为(3)式)

(5)迫敛性(定理3.6):

夹逼定理(Squeeze Theorem/Sandwich Theorem):设 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)= lim ⁡ x → x 0 g ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{g(x)} x→x0​lim​g(x)=A,且在U°(x0;δ’)上有f(x)≤h(x)≤g(x),则 lim ⁡ x → x 0 h ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{h(x)} x→x0​lim​h(x)=A

(6)四则运算法则(定理3.7):

若极限 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)与 lim ⁡ x → x 0 g ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{g(x)} x→x0​lim​g(x)均存在,则 lim ⁡ x → x 0 [ f ( x ) ± g ( x ) ] \displaystyle \lim_{x \to x_0}{[f(x)±g(x)]} x→x0​lim​[f(x)±g(x)]与 lim ⁡ x → x 0 [ f ( x ) ± g ( x ) ] \displaystyle \lim_{x \to x_0}{[f(x)±g(x)]} x→x0​lim​[f(x)±g(x)]也存在,且 ① lim ⁡ x → x 0 [ f ( x ) ± g ( x ) ] \displaystyle \lim_{x \to x_0}{[f(x)±g(x)]} x→x0​lim​[f(x)±g(x)]= lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)± lim ⁡ x → x 0 g ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{g(x)} x→x0​lim​g(x) ② lim ⁡ x → x 0 [ f ( x ) ⋅ g ( x ) ] \displaystyle \lim_{x \to x_0}{[f(x)·g(x)]} x→x0​lim​[f(x)⋅g(x)]= lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)· lim ⁡ x → x 0 g ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{g(x)} x→x0​lim​g(x)

又若 lim ⁡ x → x 0 g ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{g(x)} x→x0​lim​g(x)≠0,则 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) g ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}} x→x0​lim​g(x)f(x)​存在,且有 ③ lim ⁡ x → x 0 f ( x ) g ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}} x→x0​lim​g(x)f(x)​= lim ⁡ x → x 0 f ( x ) lim ⁡ x → x 0 g ( x ) \frac{\displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)}}{\displaystyle \lim_{x \to x_0}{g(x)}} x→x0​lim​g(x)x→x0​lim​f(x)​

3,函数极限存在的条件

(1)归结原则(定理3.8):

• 海涅定理对全部6种类型的极限均成立,下面以x→x0的形式为例

海涅定理(Heine Theorem):设f在U°(x0;δ’)上有定义, lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)存在的充要条件是:对∀含于U°(x0;δ’)且以x0为极限的数列{xn}, lim ⁡ n → ∞ f ( n ) \displaystyle \lim_{n \to \infty}{f(n)} n→∞lim​f(n)都存在且相等

(2)加强版归结原则(定理3.9

• 对4种单侧极限,相应的归结原则可表述为更强的形式,下面以x→ x 0 + x_0^+ x0+​的形式为例

设函数f在某去心右邻域U°+(x0)有定义, lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0^+}{f(x)} x→x0+​lim​f(x)=A的充要条件是:对∀以x0为极限的递减数列 x n ⊊ U ° + ( x   0   ) {x_n} \subsetneq {U°_+(x~0~)} xn​⊊U°+​(x 0 ),有 lim ⁡ n → ∞ f ( n ) \displaystyle \lim_{n \to \infty}{f(n)} n→∞lim​f(n)=A

(3)函数的单调有界收敛定理(定理3.10):

• 适用于全部4类单侧极限,下面以x→ x 0 + x_0^+ x0+​的形式为例

设f为定义在U°+(x0)上的单调有界函数,则 lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0^+}{f(x)} x→x0+​lim​f(x)存在

(4)柯西准则(Cauchy Criterion,定理3.11):

设函数f在U°(x0;δ’)上有定义, lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)存在的充要条件是:对∀ ϵ \epsilon ϵ>0,∃0<δ<δ’,使对∀x’,x’‘∈U°(x0;δ),有|f(x’)-f(x’’)|< ϵ \epsilon ϵ

相应地, lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)不存在的充要条件为:∃ ϵ 0 \epsilon_0 ϵ0​>0,使对∀δ>0,总有x’,x’‘∈U°(x0;δ),使得|f(x’)-f(x’’)|≥ ϵ 0 \epsilon_0 ϵ0​

4.2个重要极限

(1) lim ⁡ x → 0 s i n x x \displaystyle \lim_{x \to 0}{\frac{sinx}{x}} x→0lim​xsinx​=1:

引子: s i n x sinx sinx< x x x< t a n x tanx tanx(0<x< π 2 \frac{π}{2} 2π​)

证明 lim ⁡ x → 0 s i n x x \displaystyle \lim_{x \to 0}{\frac{sinx}{x}} x→0lim​xsinx​=1:

(2) lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = lim ⁡ x → 0 ( 1 + x ) 1 x = e \displaystyle \lim_{x \to \infty}{(1+\frac{1}{x})^x}=\displaystyle \lim_{x \to 0}{(1+x})^{\frac{1}{x}}=e x→∞lim​(1+x1​)x=x→0lim​(1+x)x1​=e:

数列极限 lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = lim ⁡ n → 0 ( 1 + n ) 1 n = e \displaystyle \lim_{n \to \infty}{(1+\frac{1}{n})^n}=\displaystyle \lim_{n \to 0}{(1+n})^{\frac{1}{n}}=e n→∞lim​(1+n1​)n=n→0lim​(1+n)n1​=e:

函数极限 lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = lim ⁡ x → 0 ( 1 + x ) 1 x = e \displaystyle \lim_{x \to \infty}{(1+\frac{1}{x})^x}=\displaystyle \lim_{x \to 0}{(1+x})^{\frac{1}{x}}=e x→∞lim​(1+x1​)x=x→0lim​(1+x)x1​=e:

三.无穷小量与无穷大量

1.无穷小量:

(1)定义:

无穷小量必定是有界量

(2)无穷小量的性质:

1.两个(系统类型的)无穷小量的和/差/积仍为无穷小量

\quad 1.1有限个(系统类型的)无穷小量的和/差/积仍为无穷小量

2.无穷小量与有界量的乘积为无穷小量

(3)函数极限的存在性与无穷小量的关系:

lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} x→x0​lim​f(x)⇔f(x)-A是x→x0时的无穷小量

(4)无穷小量阶的比较:

(5)等价无穷小在求极限时的应用(定理3.12):

设函数f,g,h在U°(x0)上有定义,且有f(x) ~ g(x)(x→x0),则有 ①若 lim ⁡ x → x 0 [ f ( x ) ⋅ h ( x ) ] \displaystyle \lim_{x \to x_0}{[f(x)·h(x)]} x→x0​lim​[f(x)⋅h(x)]=A,则 lim ⁡ x → x 0 [ g ( x ) ⋅ h ( x ) ] \displaystyle \lim_{x \to x_0}{[g(x)·h(x)]} x→x0​lim​[g(x)⋅h(x)]=A ②若 lim ⁡ x → x 0 h ( x ) f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{\frac{h(x)}{f(x)}} x→x0​lim​f(x)h(x)​=B,则 lim ⁡ x → x 0 h ( x ) g ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{\frac{h(x)}{g(x)}} x→x0​lim​g(x)h(x)​=B

代换时的注意事项:

3.无穷大量:

(1)定义:

(2)无穷大量同样有阶的概念,可以仿照无穷小量给出

(3)无穷小量与无穷大量:

4.渐近线: