数学分析 反常积分(第11章)

一.反常积分的概念

相对于普通的定积分(称为正常积分),下面提出2类反常积分

1.无穷积分的提出:

2.瑕积分的提出:

二.无穷积分

1.定义:

2.性质

(1)无穷积分收敛的柯西准则:

定理11.1: ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞​f(x)dx收敛的充要条件是:对 ∀ ε > 0 , ∃ G ≥ a ∀ε>0,∃G≥a ∀ε>0,∃G≥a,只要 u 1 , u 2 > G u_1,u_2>G u1​,u2​>G,就有 ∣ ∫ a u 2 f ( x ) d x − ∫ a u 1 f ( x ) d x ∣ = ∣ ∫ u 1 u 2 f ( x ) d x ∣ < ε |\int_a^{u_2}f(x)dx-\int_a^{u_1}f(x)dx|=|\int_{u_1}^{u_2}f(x)dx|<ε ∣∫au2​​f(x)dx−∫au1​​f(x)dx∣=∣∫u1​u2​​f(x)dx∣<ε

(2)线性运算的性质:

性质1:若 ∫ a + ∞ f 1 ( x ) d x , ∫ a + ∞ f 2 ( x ) d x \int_a^{+\infty}f_1(x)dx,\int_a^{+\infty}f_2(x)dx ∫a+∞​f1​(x)dx,∫a+∞​f2​(x)dx均收敛, k 1 , k 2 k_1,k_2 k1​,k2​为任意常数,则 ∫ a + ∞ [ k 1 f 1 ( x ) + k 2 f 2 ( x ) ] d x \int_a^{+\infty}[k_1f_1(x)+k_2f_2(x)]dx ∫a+∞​[k1​f1​(x)+k2​f2​(x)]dx也收敛,且 ∫ a + ∞ [ k 1 f 1 ( x ) + k 2 f 2 ( x ) ] d x = k 1 ∫ a + ∞ f 1 ( x ) + k 2 ∫ a + ∞ f 2 ( x ) d x ( 1 ) \int_a^{+\infty}[k_1f_1(x)+k_2f_2(x)]dx=k_1\int_a^{+\infty}f_1(x)+k_2\int_a^{+\infty}f_2(x)dx\qquad(1) ∫a+∞​[k1​f1​(x)+k2​f2​(x)]dx=k1​∫a+∞​f1​(x)+k2​∫a+∞​f2​(x)dx(1)

(3)积分区间的可加性:

性质2:若 f f f在任何有限区间[a,u]上可积,则 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞​f(x)dx与 ∫ b + ∞ f ( x ) d x \int_b^{+\infty}f(x)dx ∫b+∞​f(x)dx同敛态(即同时收敛或同时发散),且有 ∫ a + ∞ f ( x ) d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ b + ∞ f ( x ) d x ( 2 ) \int_a^{+\infty}f(x)dx=\int_a^bf(x)dx+\int_b^{+\infty}f(x)dx\qquad(2) ∫a+∞​f(x)dx=∫ab​f(x)dx+∫b+∞​f(x)dx(2)其中右边第1项是定积分

推论: ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞​f(x)dx收敛的另1个充要条件是:对 ∀ ε > 0 , ∃ G ≥ a ∀ε>0,∃G≥a ∀ε>0,∃G≥a,当 u > G u>G u>G时,总有 ∣ ∫ a + ∞ f ( x ) d x ∣ < ε |\int_a^{+\infty}f(x)dx|<ε ∣∫a+∞​f(x)dx∣<ε

(4)绝对收敛与条件收敛的关系:

绝对收敛与条件收敛的概念:

性质3:若 f f f在任何有限区间[a,u]上可积,且有 ∫ a + ∞ ∣ f ( x ) ∣ d x \int_a^{+\infty}|f(x)|dx ∫a+∞​∣f(x)∣dx收敛,则 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞​f(x)dx也收敛,且 ∣ ∫ a + ∞ f ( x ) d x ∣ ≤ ∫ a + ∞ ∣ f ( x ) ∣ d x |\int_a^{+\infty}f(x)dx|≤\int_a^{+\infty}|f(x)|dx ∣∫a+∞​f(x)dx∣≤∫a+∞​∣f(x)∣dx

3.非负函数无穷积分的敛散判别法

(1)非负函数的无穷积分的比较判别法:

定理11.2:设定义在 [ a , + ∞ ) [a,+\infty) [a,+∞)上的2个非负函数 f , g f,g f,g都在任何有限区间 [ a , u ] [a,u] [a,u]上可积,且满足 f ( x ) ≤ g ( x )   ( x ≥ a ) f(x)≤g(x)\,(x≥a) f(x)≤g(x)(x≥a),则当 ∫ a + ∞ g ( x ) d x \int_a^{+\infty}g(x)dx ∫a+∞​g(x)dx收敛时, ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞​f(x)dx必收敛(或当 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞​f(x)dx发散时, ∫ a + ∞ g ( x ) d x \int_a^{+\infty}g(x)dx ∫a+∞​g(x)dx必发散)

(2)非负函数的无穷积分的比较判别法的极限形式:

推论1:若 f , g f,g f,g都在任何有限区间 [ a , u ] [a,u] [a,u]上可积,当 x ∈ [ a , + ∞ ) x∈[a,+\infty) x∈[a,+∞)时, f ( x ) ≥ 0 , g ( x ) > 0 f(x)≥0,g(x)>0 f(x)≥0,g(x)>0,且 lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) g ( x ) = c \displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=c x→+∞lim​g(x)f(x)​=c,则有:

①当 0 < c < + ∞ 0<c<+\infty 0<c<+∞时, ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞​f(x)dx与 ∫ a + ∞ g ( x ) d x \int_a^{+\infty}g(x)dx ∫a+∞​g(x)dx同敛态

②当 c = 0 c=0 c=0时,由 ∫ a + ∞ g ( x ) d x \int_a^{+\infty}g(x)dx ∫a+∞​g(x)dx收敛可推知 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞​f(x)dx也收敛

③当 c = + ∞ c=+\infty c=+∞时,由 ∫ a + ∞ g ( x ) d x \int_a^{+\infty}g(x)dx ∫a+∞​g(x)dx发散可推知 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞​f(x)dx也发散

(3)非负函数的无穷积分的柯西判别法:

特别地,如果选用 ∫ 1 + ∞ d x x p \int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p} ∫1+∞​xpdx​作为比较对象,则有如下2个推论(称为柯西判别法)

推论2:设 f f f定义在 [ a , + ∞ )   ( a > 0 ) [a,+\infty)\,(a>0) [a,+∞)(a>0)上,且在任何有限区间 [ a , u ] [a,u] [a,u]上可积,则有:

①当 0 ≤ f ( x ) ≤ 1 x p   ( x ≥ a ) 0≤f(x)≤\frac{1}{x^p}\,(x≥a) 0≤f(x)≤xp1​(x≥a)且 p > 1 p>1 p>1时, ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞​f(x)dx收敛

②当 f ( x ) ≥ 1 x p   ( x ≥ a ) f(x)≥\frac{1}{x^p}\,(x≥a) f(x)≥xp1​(x≥a)且 p ≤ 1 p≤1 p≤1时, ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞​f(x)dx发散

推论3:设 f f f是定义在 [ a , + ∞ ) [a,+\infty) [a,+∞)上的非负函数,且在任何有限区间 [ a , u ] [a,u] [a,u]上可积,且 lim ⁡ x → + ∞ x p f ( x ) = λ \displaystyle\lim_{x \to +\infty}x^pf(x)=λ x→+∞lim​xpf(x)=λ,则有:

①当 p > 1 , 0 ≤ λ < + ∞ p>1,0≤λ<+\infty p>1,0≤λ<+∞时, ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞​f(x)dx收敛

②当 p ≤ 1 , 0 < λ ≤ + ∞ p≤1,0<λ≤+\infty p≤1,0<λ≤+∞时, ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞​f(x)dx发散

4.一般无穷积分的敛散判别法

(1)无穷积分的狄利克雷判别法(Dirichlet Discriminance):

定理11.3:若 F ( u ) = ∫ a u f ( x ) d x F(u)=\int_a^uf(x)dx F(u)=∫au​f(x)dx在 [ a , + ∞ ] [a,+\infty] [a,+∞]上有界, g ( x ) g(x) g(x)在 [ a , + ∞ ] [a,+\infty] [a,+∞]上当 x → + ∞ x→+\infty x→+∞时单调趋于0,则 ∫ a + ∞ f ( x ) g ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)g(x)dx ∫a+∞​f(x)g(x)dx收敛

(2)无穷积分的阿贝尔判别法(Abel Discriminance):

定理11.4:若 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞​f(x)dx收敛, g ( x ) g(x) g(x)在 [ a , + ∞ ) [a,+\infty) [a,+∞)上单调有界,则 ∫ a + ∞ f ( x ) g ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)g(x)dx ∫a+∞​f(x)g(x)dx收敛

5.注意事项:

当 x → + ∞ x→+\infty x→+∞时被积函数即使不趋于0,甚至是无界的,无穷积分仍有可能收敛

不过,若 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , + ∞ ) [a,+\infty) [a,+∞)上单调,则 lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) = 0 \displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x)=0 x→+∞lim​f(x)=0是 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞​f(x)dx收敛的必要条件

三.瑕积分

1.定义:

2.性质

(1)线性运算的性质:

性质1:设 f 1 , f 2 f_1,f_2 f1​,f2​的瑕点均为 a , k 1 , k 2 a,k_1,k_2 a,k1​,k2​为常数,则当瑕积分 ∫ a b f 1 ( x ) d x , ∫ a b f 2 ( x ) d x \int_a^bf_1(x)dx,\int_a^bf_2(x)dx ∫ab​f1​(x)dx,∫ab​f2​(x)dx都收敛时,瑕积分 ∫ a b [ k 1 f 1 ( x ) + k 2 f 2 ( x ) ] d x \int_a^b[k_1f_1(x)+k_2f_2(x)]dx ∫ab​[k1​f1​(x)+k2​f2​(x)]dx必定收敛,并有 ∫ a b [ k 1 f 1 ( x ) + k 2 f 2 ( x ) ] d x = k 1 ∫ a b f 1 ( x ) + k 2 ∫ a b f 2 ( x ) d x ( 1 ) \int_a^b[k_1f_1(x)+k_2f_2(x)]dx=k_1\int_a^bf_1(x)+k_2\int_a^bf_2(x)dx\qquad(1) ∫ab​[k1​f1​(x)+k2​f2​(x)]dx=k1​∫ab​f1​(x)+k2​∫ab​f2​(x)dx(1)

(2)积分区间的可加性:

性质2:设 f f f的瑕点为 x = a , c ∈ ( a , b ) x=a,c∈(a,b) x=a,c∈(a,b)为任一常数,则瑕积分 ∫ a b f ( x ) d x , ∫ a c f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx,\int_a^cf(x)dx ∫ab​f(x)dx,∫ac​f(x)dx同敛态,并有 ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x ( 2 ) \int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx\qquad(2) ∫ab​f(x)dx=∫ac​f(x)dx+∫cb​f(x)dx(2)其中 ∫ c b f ( x ) d x \int_c^bf(x)dx ∫cb​f(x)dx为定积分

(3)绝对收敛与条件收敛的关系:

性质3:设 f f f的瑕点为 x = a , f x=a,f x=a,f在 ( a , b ] (a,b] (a,b]的任一内闭区间 [ u , b ] [u,b] [u,b]上可积;则当 ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x \int_a^b|f(x)|dx ∫ab​∣f(x)∣dx收敛时, ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫ab​f(x)dx也必定收敛,并有 ∣ ∫ a b f ( x ) d x ∣ ≤ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x ( 3 ) |\int_a^bf(x)dx|≤\int_a^b|f(x)|dx\qquad(3) ∣∫ab​f(x)dx∣≤∫ab​∣f(x)∣dx(3)

3.非负函数的瑕积分的敛散判别法

(1)瑕积分的比较判别法:

定理11.6:设定义在 ( a , b ] (a,b] (a,b]上的2个函数 f , g f,g f,g在任何 [ u , b ] ⊂ ( a , b ] [u,b]\sub(a,b] [u,b]⊂(a,b]上均可积,且其瑕点均为 x = a x=a x=a,且满足 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x )   ( a < x ≤ b ) 0≤f(x)≤g(x)\,(a<x≤b) 0≤f(x)≤g(x)(a<x≤b),则当 ∫ a b g ( x ) d x \int_a^bg(x)dx ∫ab​g(x)dx收敛时, ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫ab​f(x)dx必定收敛(或当 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫ab​f(x)dx发散时, ∫ a b g ( x ) d x \int_a^bg(x)dx ∫ab​g(x)dx必定发散)

(2)瑕积分的比较判别法的极限形式:

推论1:设定义在 ( a , b ] (a,b] (a,b]上的2个函数 f , g f,g f,g在任何 [ u , b ] ⊂ ( a , b ] [u,b]\sub(a,b] [u,b]⊂(a,b]上均可积,且其瑕点均为 x = a x=a x=a,且满足 f ( x ) ≥ 0 , g ( x ) > 0 f(x)≥0,g(x)>0 f(x)≥0,g(x)>0,且 lim ⁡ x → a + f ( x ) g ( x ) = c \displaystyle\lim_{x \to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=c x→a+lim​g(x)f(x)​=c,则有:

①当 0 < c < + ∞ 0<c<+\infty 0<c<+∞时, ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫ab​f(x)dx与 ∫ a b g ( x ) d x \int_a^bg(x)dx ∫ab​g(x)dx同敛态

②当 c = 0 c=0 c=0时,由 ∫ a b g ( x ) d x \int_a^bg(x)dx ∫ab​g(x)dx收敛可推知 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫ab​f(x)dx也收敛

③当 c = + ∞ c=+\infty c=+∞时,由 ∫ a b g ( x ) d x \int_a^bg(x)dx ∫ab​g(x)dx发散可推知 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫ab​f(x)dx也发散

(3)柯西判别法:

特别地,如果选用 ∫ a b d x ( x − a ) p \int_a^b\frac{dx}{(x-a)^p} ∫ab​(x−a)pdx​作为比较对象,则有如下2个推论(称为柯西判别法)

推论2:设 f f f定义在 ( a , b ] (a,b] (a,b]上, a a a为其瑕点,且在任何 [ u , b ] ⊂ ( a , b ] [u,b]\sub(a,b] [u,b]⊂(a,b]上可积,则有:

①当 0 ≤ f ( x ) ≤ 1 ( x − a ) p 0≤f(x)≤\frac{1}{(x-a)^p} 0≤f(x)≤(x−a)p1​且 0 < p < 1 0<p<1 0<p<1时, ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫ab​f(x)dx收敛

②当 f ( x ) ≥ 1 ( x − a ) p f(x)≥\frac{1}{(x-a)^p} f(x)≥(x−a)p1​且 p ≥ 1 p≥1 p≥1时, ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫ab​f(x)dx发散

推论3:设 f f f是定义在 ( a , b ] (a,b] (a,b]上的非负函数, a a a为其瑕点,且在任何 [ u , b ] ⊂ ( a , b ] [u,b]\sub(a,b] [u,b]⊂(a,b]上可积,如果 lim ⁡ x → a + ( x − a ) p f ( x ) = λ \displaystyle\lim_{x \to a^+}(x-a)^pf(x)=λ x→a+lim​(x−a)pf(x)=λ,则有:

①当 0 < p < 1 , 0 ≤ λ < + ∞ 0<p<1,0≤λ<+\infty 0<p<1,0≤λ<+∞时, ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫ab​f(x)dx收敛

②当 p ≥ 1 , 0 < λ ≤ + ∞ p≥1,0<λ≤+\infty p≥1,0<λ≤+∞时, ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫ab​f(x)dx发散

4.一般函数的瑕积分的敛散判别法

(1)瑕积分收敛的充要条件:

定理11.5:瑕积分 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫ab​f(x)dx(瑕点为 x = a x=a x=a)收敛的充要条件是:对 ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 ∀ε>0,∃δ>0 ∀ε>0,∃δ>0,只要 u 1 , u 2 ∈ ( a , a + δ ) u_1,u_2∈(a,a+δ) u1​,u2​∈(a,a+δ),总有 ∣ ∫ u 1 b f ( x ) d x − ∫ u 2 b f ( x ) d x ∣ = ∣ ∫ u 1 u 2 f ( x ) d x ∣ < ε |\int_{u_1}^bf(x)dx-\int_{u_2}^bf(x)dx|=|\int_{u_1}^{u_2}f(x)dx|<ε ∣∫u1​b​f(x)dx−∫u2​b​f(x)dx∣=∣∫u1​u2​​f(x)dx∣<ε

(2)瑕积分的狄利克雷判别法:

定理11.7:设 a a a为 f ( x ) f(x) f(x)的瑕点, F ( u ) = ∫ u b f ( x ) d x F(u)=\int_u^bf(x)dx F(u)=∫ub​f(x)dx在 ( a , b ] (a,b] (a,b]上有界, g ( x ) g(x) g(x)在 ( a , b ] (a,b] (a,b]上单调且 lim ⁡ x → a + g ( x ) = 0 \displaystyle\lim_{x→a^+}g(x)=0 x→a+lim​g(x)=0,则瑕积分 ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x \int_a^bf(x)g(x)dx ∫ab​f(x)g(x)dx收敛

(3)瑕积分的阿贝尔判别法:

定理11.8:设 a a a为 f ( x ) f(x) f(x)的瑕点,瑕积分 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫ab​f(x)dx收敛, g ( x ) g(x) g(x)在 ( a , b ] (a,b] (a,b]上单调且有界,则瑕积分 ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x \int_a^bf(x)g(x)dx ∫ab​f(x)g(x)dx收敛