这里根据B站上一位老师的讲解,对于有界线性泛函的积分性质给出证明。
这里的假设是把Xs当作一个函数看待,其自变量为s,如下图:
即Xs只在[a,s]这个无穷小的区域内非0,[s,b]区间内都是0。
这样表示Xs的目的相当于,认为有界线性泛函f(xs)所对应的函数xs只在确定的点上非0。
这里的δk就是由[sk,tk]构成的小区间的长度。
以上证明说明,当f是连续线性泛函的时候,f(xs)是绝对连续函数。
由于绝对连续,则g(s)可微,由此可以作如下假设:
最后一个等式成立,是因为Xs在[a,s]这个无穷小的区域内为1,而在[s,b]区间内都是0。
上面的证明表示,对于有界线性泛函f(x),由于x可以被阶跃函数逼近,所以绝对连续,从而满足牛顿莱布尼茨公式。
这是因为阶梯函数可以表示为
以上所有证明的目的在于,对于有界线性泛函f(x),通过证明其绝对连续的性质,得到: