感謝大神分享：https://zhuanlan.zhihu.com/p/131342530
1. 概述
标定的本質是參數辨識。首先明确哪些參數可辨識，其次弄清怎樣辨識。
參數包括陀螺儀和加速度計各自的零偏、标度因數、安裝誤差。
辨識就比較豐富了，如果讓各位先不局限于标定任務，想一想你了解的辨識方法有哪些，常見的回答應該有這樣幾個：
1）解析法或最小二乘
2）濾波（kalman等）
3）梯度下降疊代優化
确實沒錯，标定裡用的就是這些方法。這說明标定其實就是一個普通的參數辨識問題，它和你遇到的其他參數辨識任務比，并沒有特殊在哪裡。
本篇文章我們先分析标定的 誤差參數、誤差模型，然後介紹第一種參數辨識方法。這種方法要知道真實的加速度和角速度輸入，
一般要有轉台才能具備這個條件，是以可以把它歸類為基于轉台的标定。其他的标定方法，我們下一篇文章再讨論。
2. 标定參數分析
1) 零偏
這個比較好了解，就是輸出比輸入多了一個常值誤差。
需要注意的是，我們之前通過Allan方差分析，得到了器件的 量化噪聲、角度随機遊走、角速率随機遊走、零偏不穩定性噪聲、速率斜坡，
仔細看，這些都是對零偏品質的分析，也可以直覺的了解為零偏的波動和漂移程度，這裡面并沒有分析零偏本身的大小，而這個才是我們标定裡要去估計的那個常值誤差。
加速度計的零偏在這裡表示為
陀螺儀的零偏在這裡表示為
2) 标度因數誤差
假設器件輸出的是标準機關角速度，那麼輸出和輸入的比就是1。如果不是，就得需要标定，并修正這個比例。
可惡的是，這個誤差不一定是常值，它會随着輸入大小的不同而發生變化，這個就是标度因數的非線性。如果非線性程度比較大，
則需要在标定之前先拟合該非線性曲線，并補償成線性再去做标定。加速度計的标度因數這裡表示如下：
陀螺儀的标度因數這裡表示為：
3) 安裝誤差
一圖勝千言，上圖吧 ！
這裡面b坐标系是正交的imu坐标系，g坐标系的三個軸是分别對應三個陀螺儀。由于加工工藝原因，陀螺儀的三個軸并不正交，
和我們導航中使用的正交軸不重合。我們需要仔細想一想，這個安裝誤差怎麼在陀螺輸出中展現出來的，因為我們标定時隻能
采集到陀螺的輸出，而無法直接去測量安裝誤差。理論上，在陀螺坐标軸和b系重合的情況下，我們沿b系某一個坐标軸旋轉，
那麼其他兩個軸是不會有角速度輸出的，而有了安裝誤差以後，便有了輸出，據此，我們就可以建立輸出和誤差之間的關系了。
以圖中一項誤差為例，Sgxy表示的就是y軸的機關輸入，在x陀螺上由安裝誤差造成的輸出。由此，我們可以把所有的安裝誤差都成矩陣形式，即:
加速度計的安裝誤差原理和它一樣，直接給出公式。
這樣一共有12項安裝誤差參數。有的時候，可以簡化為9項，但在其他标定方法中使用比較多，本次的方法不使用，是以等後面用到時再詳細分析。
3. 誤差模型
通過上面的參數分析，我們已經可以很容易地寫出誤差模型了。
陀螺儀：
其中W是陀螺輸出，ω是各坐标軸真實輸入。
加速度計：
其中A是加速度計輸出，a是三個軸真實輸入。
展開來看，就是這樣的：
陀螺儀：
加速度計：
4. 基于轉台的标定
1) 标定原理
在說标定之前，我們先看幾個簡單的小問題。
第一個問題，假如給你下面的方程組，你會怎麼解
應該都能想到，用2式減去1式，得到y=1，然後帶入1式，得到x=0。
第二個問題，下面的式子裡，你可以随意給定a和b的值，并同時會得到c的結果，這個x和y怎麼解。
也很簡單，首先a=1,b=0,得到x，然後把a=0,b=1得到y。
第三個問題，下面式子，同樣是輸入a和b，得到c1和c2，怎麼解。
其實就是前兩個問題的結合，先讓a=0，轉成問題1，得到x和y，随後讓a=1，得到z。
第四個問題，給你下面的式子，可以随意更改ax、ay和az，怎麼解。
想必憑各位的冰雪聰明，一定知道我在說什麼了。到這裡，雖然還沒講标定，但你已經懂标定了；标定就是通過改變輸入，來建構方程組，去解這個方程。
2) 标定方法
轉台等同于真實輸入，當把IMU安裝在轉台上時，IMU坐标系每個軸上的真實角速度和加速度都是已知的（這裡是在轉台經過調平和對準的情況下）。
你轉動轉台的過程，就是建構方程去求解參數的過程。舉個例子，當把IMU豎直向上放的時候，有
我們可以得到：
豎直向下放的時候，可以得到：
這樣就很容易解出Kaz和加速度計零位了。
經過多次這樣的操作，就可以求解所有參數，這就是我們看到的标定資料裡全是多位置轉位方案的原因。另外，可以看出，
我們每次隻給一個軸輸入，另外兩個軸為零，這樣做的好處是每一次得到的方程就隻包含一小部分參數，使求解變得簡單。
這也就是為什麼我們看到的多位置标定方案都是以90度為機關進行旋轉的原因。
另外，需要注意的是，由于器件有噪聲，是以輸出值都是用一段時間的資料取平均，而不是隻選擇一個時間點的值。
5. 拓展思考
1) 最小二乘的使用
理論上，能夠解析求解的，都能夠用最小二乘求解。都學過線性代數，把系數矩陣提取出來，建構多組輸入輸出，就可以計算了，
前提是系數矩陣要滿秩。各位如果感興趣，可以根據标定誤差模型，自己寫一下誤差參數的系數矩陣。
我們能夠想到一點，既然在最小二乘的方法裡，不需要自己去解析求解方程了，那麼其實就沒必要隻給一個軸輸入了，而現實中為什麼不這樣做呢？
因為它沒有帶來額外的好處，對于改變了雖然也能實作，但沒有額外好處的做法，工程中一般不會主動去做，是以還是沿用原來的了。
此處留一個小小的問題，供大家思考：由于最小二乘要一次性求解參數，即系數矩陣要滿秩，那麼我們應該怎樣多次旋轉和停放轉台才能夠使它滿秩呢？
進一步，旋轉和停放的次數最少是多少呢？
2) 包含未知輸入
我們在介紹标定方法的時候，是在假設轉台經過調平和對準的前提下。所謂轉台調平，就是轉台安裝面和地面平行，這樣地球重力加速度在IMU各
個軸上的輸入才是已知的，否則，如果轉台和水準面有個夾角，且夾角未知，那麼儀表的真實輸入就不可計算了。所謂轉台對準，是指轉台的方向
和地理系北向是對齊的，這樣地球自轉角速度在陀螺儀上的分量就是已知的，反之則未知。
這個問題是能夠解決的，但是我們先不直接給出方法，而是同樣用解方程的方式來表達這種思路。我們看下面的方程，可以輸入任意a和b，得到c，裡面x、y、m、n都是未知的。
可以看出，我們能夠計算出x和y，而不能分别算出m和n。但是換一個角度，如果我們隻需要x和y呢，也就是說，
在一個不完全可解的方程裡，如果我們想要的恰恰是那些可解的參數，也足夠了。
回到标定的問題，如果轉台沒有調平和對準，引入了未知數，那麼是否也一樣能識别出要标定的參數呢？
這時候最小二乘方法是否仍然可以使用？這作為本篇文章的第二個問題，供大家思考。